第一篇 分析基础 1.1收敛序列
（收敛序列的定义）
定义：设{xn}是实数序列，a是实数，如果对任意??0都存在自然数N，使得只要n?N，就有
xn?a??
那么{xn}收敛，且以a为极限，称为序列{xn}收敛收敛于a，记为
limxn?a或者xn?a(n???)
定理1：如果序列{xn}有极限，那么它的极限是唯一的。
定理2（夹逼原理）：设{xn}，{yn}和{zn}都是实数序列，满足条件
xn?yn?zn,?n?N
如果limxn?limzn?a，那么{yn}也是收敛序列，且有
limyn?a
定理3：设{xn}是实数序列，a是实数，则以下三陈述等价
（1） 序列{xn}以a为极限； （2） {xn?a}是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{an}使得
xn?a?an,（收敛序列性质）
定理4：收敛序列{xn}是有界的。 定理5：
n?1,2,?.
（1）设limxn?a，则limxn?a。
（2）设limxn?a，limyn?b，则lim(xn?yn)?a?b。 （3）设limxn?a，limyn?b，则lim(xnyn)?ab。
（4）设xn?0，limxn?a?0，则lim11?。 xnaynlimynb??。 xnlimxna（5）设xn?0，limxn?a?0，limyn?b，则lim（收敛序列与不等式）
定理6：如果limxn?limyn，那么存在N0?N，使得n?N0时有
xn?yn
定理7：如果{xn}和{yn}都是收敛序列，且满足
xn?yn,那么
?n?N0,
limxn?limyn
1.2 收敛原理
（单调序列定义）
定义：（１）若实数序列{xn}满足
xn?xn?1,?n?N,
则称{xn}是递增的或者单调上升的，记为
{xn}?.
（２）若实数序列{yn}满足
yn?yn?1,?n?N,
则称{yn}是递减的或者单调下降的，记为
{yn}?
（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。
定理１：递增序列{xn}收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为sup{xn}。 定理1推论：递减序列{yn}收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf{xn}。 扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为
xn?xn?1,及
?n?N0,
yn?yn?1,（自然对数的底e）
自然对数的底e通过下面这个式子求得
?n?N0,
?1?e?lim?1??
n????n??1?我们先来证明序列xn??1??是收敛的。
?n??1?（1）序列xn??1??是单调上升的。
?n?nnn11112?1?xn??1???1?1?(1?)?(1?)(1?)2!n3!nn?n?112k?1???(1?)(1?)?(1?)
k!nnn112n?1???(1?)(1?)?(1?)n!nnn1??xn?1??1???n?1?11112(1?)?(1?)(1?)2!n?13!n?1n?1112k?1???(1?)(1?)?(1?)k!n?1n?1n?1 112n?1???(1?)(1?)?(1?)n!n?1n?1n?1112n?(1?)(1?)?(1?)(n?1)!n?1n?1n?1?1?1?n?1n对比xn和xn?1的展开式，xn?1前面n?1项的每一项都比xn中相应项要大，即
112k?1112k?1(1?)(1?)?(1?)?(1?)(1?)?(1?) k!n?1n?1n?1k!nnn除此之外xn?1还比xn在最后多一个正项。因此我们得出xn是单调上升的，即
xn?xn?1,?n?N,
?1?（2）序列xn??1??是有上界的。
?n?n11112n?1?1?xn??1???1?1?(1?)???(1?)(1?)?(1?)n2!nn!nnn??111?1?1??2???n
222?1?1???12?1????1??3111?1?22?1?序列xn??1??是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用e表示。通过计算机
?n?模拟，我们可以得到e的近似值，前几位是2.718281828459045…
在数学中，以e为底的对数称为自然对数，e称为自然对数的底，正实数x的自然对数通常记为lnx，logx或者logex。
nnn（闭区间套原理）
定理2（闭区间套原理）：如果实数序列?an?和?bn?（或闭区间序列?an,bn?）满足条件 （1）?an,bn???an?1,bn?1?（或者an?1?an?bn?bn?1,（2）lim?bn?an??0 那么
（i）闭区间序列?an,bn?形成一个闭区间套。 （ii）实数序列?an?和?bn?收敛于相同的极限值c。
???n?1）
??liman?limbn?c
（iii）c是满足以下条件的唯一实数值。
an?c?bn,?n?N
证明：
（ii）由条件（1）可得
an?1?an?bn?bn?1???b1
我们可以看到?an?单调上升而有上界，?bn?单调下降而有下界，因此?an?和?bn?都是收敛序列。由条件（2）可得limbn?liman?lim?bn?an??0，因此实数序列?an?和?bn?收敛于相同的极限值。
liman?limbn?c
（iii）因为
c?sup?an??inf?bn?
所以显然有
an?c?bn,?n?N
假如还有一个实数c'满足
an?c'?bn,?n?N
由于
liman?limbn?c
那么根据夹逼准则，有
c'?limc'?liman?limbn?c
则证明了c是唯一的。