f(x?h)?f(x)ah?1xf'(x)?lim?alim?axlna
h?0h?0hh（9）函数f(x)?lnx，f'(x)?1 xhhln(1?)ln(1?)f(x?h)?f(x)ln(x?h)?lnxx?1x ??hhhhxxf(x?h)?f(x)1ln(1?h)已知lim? ?1, f'(x)?limh?0h?0hxh1（10）函数f(x)?logax，f'(x)?
xlnahhhloga(1?)loga(1?)ln(1?)f(x?h)?f(x)loga(x?h)?logaxx?1x?1x ??hhhhhxxlnaxxf(x?h)?f(x)1ln(1?h)已知lim ??1, f'(x)?limh?0h?0hxlnah
定理1：设函数f和g在x点可导, c?R, 则f?g和cf在x点可导, 并且
(f(x)?g(x))'?f'(x)?g'(x)
(cf(x))'?cf'(x)
（单侧导数）
单侧导数定义：设函数f在(x??,x]有定义，如果存在左侧极限
h?0lim?f(x?h)?f(x)
h那么我们就说函数f在x左侧可导，并且称为左导数，记为
f'?(x)?lim?h?0f(x?h)?f(x)
hf(x?h)?f(x)
h同理可以得到右导数为
f'?(x)?lim?h?0
定理2：设函数f在x点邻近有定义，则f在x点可导的充分必要条件是它在这点的两个单侧导数都存在并且相等，
f'?(x)?f'?(x)
当这个条件满足时就有
f'(x)?f'?(x)?f'?(x)
在一个点处可导的条件就是在则个点处从左边趋近和从右边趋近，斜率都是一样的。简单的例子：
（1）函数f(x)?|x|在x?0处不可导，因为f'?(x)??1，而f'?(x)?1，所以在该点导数不存在。其实也可以这样理解，从左边趋近0的时候斜率是-1，从右边趋近0的时候斜率是1，可导的
（可微性，微分）
定义：设函数f(x)在x点邻近有定义，如果
f(x?h)?f(x)?Ah??(h)
其中A与h无关，那么我们就说函数f(x)在x点可微。
定理3：函数f(x)在x点可导的充分必要条件是它在这点可微。
注记：由于这个定理的缘故，人人们把“可导”和“可微”这两个术语当做同义词来使用。求导数的方法又称之为“微分法”。
定理4：设函数f(x)在x0点可微（可导），那么它在这点连续。
当我们用式子定义一个量的时候，采用记号“：=”是很方便的，例如
f(x):?x2?2
表示f(x)用式子x?2来定义。记号“：=”读作“定义为”。
定义记号：设函数f(x)在x0点可微（可导），我们引入记号
2dx:??x（dx定义为?x） dy:?f'(x0)dx?f'(x)?x
并把dy叫做函数y?f(x)在x0点的微分。
微分的意义：
（1）从集合角度来看微分dy?f'(x)dx正好是切线函数的增量。
（2）从代数的角度来看，微分dy?f'(x)dx是增量?y?f(x0??x)?f(x0)的线性主部，
dy与?y仅仅相差一个高阶无穷小量?(?x)
?y?dy??(?x)
因而当?x充分小的时候，可以用dy作为?y的近似值，实际应用中经常这样做。 （3）之前我们引入
dydy作为导数的记号。有了微分的概念，我们可以把记号解释为dy与dxdxdy?f'(x0) dxdx之商：
2.2求导法则，高阶导数
定理1：设函数u和v在x0点可导，则以下各式在x?x0处成立 （1）(u(x)?v(x))'?u'(x)?v'(x) （2）(u(x)v(x))'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)
?u(x)?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)（3）? ??2v(x)(v(x))??证明：（1）记f(x)?u(x)?v(x)，则有
'f(x?h)?f(x)?u(x?h)?u(x)?v(x?h)?v(x)
f(x?h)?f(x)u(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)?lim?limh?0h?0h?0 hhh?u'(x)?v'(x)f'(x)?lim（2）记f(x)?u(x)v(x)，则有
f(x?h)?f(x)?u(x?h)v(x?h)?u(x)v(x)?u(x?h)v(x?h)?u(x)v(x?h)?u(x)v(x?h)?u(x)v(x) ?(u(x?h)?u(x))v(x?h)?u(x)(v(x?h)?v(x))f(x?h)?f(x)u(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)?limv(x?h)?limu(x)h?0h?0h?0 hhh?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)f'(x)?lim（3）记f(x)?u(x)，则有 v(x)u(x?h)u(x)?v(x?h)v(x)(u(x?h)v(x)?u(x)v(x))?(u(x)v(x?h)?u(x)v(x))?
v(x?h)v(x)(u(x?h)?u(x))v(x)u(x)(v(x?h)?v(x))??v(x?h)v(x)v(x?h)v(x)f(x?h)?f(x)?(u(x?h)?u(x))(v(x?h)?v(x))v(x)u(x)f(x?h)?f(x)hhf'(x)?lim?lim?limh?0h?0h?0hv(x?h)v(x)v(x?h)v(x) u'(x)v(x)?u(x)v'(x)?(v(x))2经常用到的式子如
?1?v'(x)?? ??2v(x)(v(x))??
定理1等效的：设函数u和v在x0点可微，则有 （1）d(u(x)?v(x))?du(x)?dv(x) （2）d(u(x)v(x))?v(x)du(x)?u(x)dv(x)
'（3）d??u(x)?v(x)du(x)?u(x)dv(x) ??v(x)(dv(x))??
简单的例子如
（1）f(x)?esinx，则
xf'(x)?(exsinx)'?(ex)'sinx?ex(sinx)'?ex(sinx?cosx)
（2）f(x)?tanx
?sinx?f'(x)?(tanx)'????cosx?(sinx)'cosx?sinx(cosx)'cos2x?sin2x?? 22cosxcosx1??(x?k??)2cosx2（3）f(x)?e，则
?x'?xf'(x)?eex?1???x???2x??e?x
e?e?'ex?e?x（4）双曲正弦函数shx?
2ex?e?x（5）双曲余弦函数chx?，有
2ch(?x)?chx，sh(?x)?sh(x) ch(x?y)?chx?chy?shx?shy