（参数式函数的求导） 例如函数
y?a2?x2，?a?x?a
可以用参数表示为
x?acost，y?asint，0?t??
一般来说，设有参数表达式
x??(t)，y??(t)，t?J
其中函数?在区间J上严格单调并且连续，函数?在区间J上连续（因为函数?为自变量，必须单调连续，函数?为结果），我们可以把t表示成x的连续函数
t???1(x)，x?I??(J)
于是y表示成x的连续函数
y??(??1(x))，x?I
如果函数?和?都在区间J上的t0点处可导，并且?'(t0)?0，那么复合函数???在在
?1x0??(t0)处可导，并且有
(?(??1(x)))'x?(?(t))'x??'(t)?t'x??'(t)?因此对于参数表示的函数
1?'(t)? x't?'(t)x??(t)，y??(t)
求导法则为
dydy?'(t)dt??,?'(t)?0
dxdx?'(t)dt简单例子
（1）曲线方程为
x??(t)，y??(t)
在x0??(t0)，y0??(t0)处的切线斜率为
?'(t0) ?'(t0)切线方程为
Y??(t0)?'(t0) ?X??(t0)?'(t0)（2）极坐标方程给出的曲线
r?r(?)??r?r(?)
极坐标参数方程为
?
x?r(?)cos?,于是
y?r(?)sin?
r(?)dytan??dyd?(r(?)sin?)'r'(?)sin??r(?)cos?r'(?) ????dxr(?)dx(r(?)cos?)'r'(?)cos??r(?)sin?1?tan?d?r'(?)设切线方向与x轴夹角为?，那么
r(?)r'(?) tan??r(?)1?tan?r'(?)tan??于是有
r(?)tan??tan???tan(???)?tan? r'(?)1?tan?tan?因此极坐标上某一点的切线与极径的家教的正切应为
tan??r(?) r'(?)
（隐函数的求导）
当变量y对变量x的函数关系通过一个方程来给出的时候，例如
x2?y2?1
对于每一个x?[?1,1]，有唯一的y?[0,??)与之对应，于是方程x?y?1确定了从集合D?[?1,1]到集合E?[0,??)的一个函数，对一般情形，设D?R,E?R，按照方程
22F(x,y)?0
对每一个x?D恰好有唯一的y?E与之对应，那么我们就说：由条件
F(x,y)?0，x?D，y?E
确定了一个隐函数，当然，有时候隐函数可以显示的表示出来，也有时候无法显示的表示。要注意的是：要由方程确定一个隐函数，仅仅指出x的变化范围时不够的，还需要指出y的变化范围，以确定是一一对应的才能说是一个隐函数。
隐函数可以简化求导过程，而且表达的也更简洁一些。下面有一些例子 （1）求以下条件确定的隐函数y?y(x)的倒数
x2?y2?1，?1?x?1，y?0
对恒等式x?y?1两边求导得到
222x?2yy'?0
那么求得
y'??（2）求函数y?u(x)v(x)x y，u(x)?0的导数。
对函数两边取对数得到
lny?v(x)lnu(x)
按隐函数求导得
y'u'(x) ?v'(x)lnu(x)?v(x)yu(x)得到
?u'(x)?y'?y?v'(x)lnu(x)?v(x)?
u(x)??
（高阶导数）
设函数f在开区间I上每一点可导，则一下对应关系定义了一个函数
x?f'(x),?x?I
记为f'。对于导函数f'，我们又可以讨论它的可到性和导数。f'(x)称为函数f的导函数，
导函数f'在x点的导数称为函数f在在x点的二阶导数，记为
f''(x)，f可以用同样的方式定义n阶导数，记为
(2)d2y(x)，2
dxf(n)dny(x)，n
dx一些函数的高阶导数具有规律，下面是几个例子 （1）y?x
?y'??x??1
y''??(??1)x??2
?
y(n)??(??1)?[??(n?1)]x??n
（2）y?ln(1?x)
y'?1?(1?x)?1 1?xy''?(?1)(1?x)?2 y'''?(?1)(?2)(1?x)?3
?
y(n)?(?1)(?2)?[?(n?1)](1?x)?n?(?1)n?1（3）y?sinx
(n?1)! n(1?x)y'?cosx?sin(x?)
2y''?cos(x?)?sin(x?2?)
22y'''??sin(x?)?sin(x?3?) 22?
?????y(n)?sin(x?n?)
2（4）y?cosx
?y(n)?cos(x?n?)
2
定理4（Leibnitz公式）：设函数u和v在x0点n阶可导，则这两个函数的乘积uv也在x0点
?n阶可导，并且在这点有
(uv)其中
(n)?n?????u(n?k)v(k) k?0?k?n?n?n(n?1)?(n?k?1)，(k?1,2,?,n) ???k!?k?下面证明一下：
?n??n??n?1????????? kk?1k???????n??n?n(n?1)?(n?k?1)n(n?1)?[n?(k?1)?1]???????k!(k?1)!?k??k?1?n(n?1)?[n?(k?1)?1]?n?k?1?(n?1)n(n?1)?[n?(k?1)?1] ??1???(k?1)!kk!???n?1?????k?归纳法证明： n?1，明显成立
假设对于n?N成立，考虑n?1的情况
n?n?n?(n?k)(k)??n?(n?k?1)(k)(n?1)(uv)??(uv)??????uv?????(uv?u(n?k)v(k?1))?k?0?k??k?0?k?n?n?(n?k?1)(k)n?n?(n?k)(k?1)????uv????uv(后面一项中令k?k0?1,那么k0?k?1)k?0?k?k?0?k?n?n?(n?k?1)(k)n?1?n?(n?k0?1)(k0) ????uv???v?uk?1kk?0??k0?1?0?(n)''?u?u(n?1)??n??n??(n?k?1)(k)(n?1)???????v?v??uk?1??k??k?1??n(n?1)?n?1?(n?k?1)(k)(n?1)n?1?n?1?(n?k?1)(k)???v?v???v?u?ukkk?1?k?0???n