1.10 无穷小量（无穷大量）的比较，几个重要的极限
?无穷小量定义：设函数?(x)在a点的某个去心邻域U(a)上有定义，如果
lim?(x)?0
x?a那么我们就说?(x)是x?a时的无穷小量。
?无穷大量定义：设函数A(x)在a点的某个去心邻域U(a)上有定义，如果
limA(x)?0
x?a那么我们就说A(x)是x?a时的无穷大量。
??定义3：设函数?(x)和?(x)在a点的某个去心邻域U(a)上有定义，并设在U(a)上
?(x)?0。我们分别用记号O，o与?表示比值
?(x)在a点邻近的几种状况： ?(x)（1）?(x)?O(?(x))表示
?(x)?(x)是x?a时的有界变量，即lim有界。
x?a?(x)?(x)（2）?(x)?o(?(x))表示
?(x)?(x)是x?a时的无穷小量，即lim?0。我们可以说
x?a?(x)?(x)。 ?(x)是比?(x)更高阶的无穷小（或者更低阶的无穷大）（3）?(x)??(x)表示
lim?(x)?1
x?a?(x)注意：O，o与?都是相对于一定的极限过程而言的，使用时一定要附加上记号x?a
例如：
sinx?o(x)sinx?x特别的：记号
(x??) (x?0)
?(x)?O(1)
表示?(x)在a点的某个去心邻域上有界；而记号
?(x)?o(1)
表示lim?(x)?0。
x?a
定理1：设函数?(x)和?(x)在a点的某个去心邻域U(a)上有定义，?(x)?0。则有
??(x)??(x)??(x)??(x)?o(?(x))
常见的极限： （1）limsinx?1
x?0x（2）下面几个等价
1lim(1?)x?e x??xlim(1?x)?e
x?01xlimlimln(1?x)?1
x?0xx?1
x?0ln(1?x)limlogb(1?x)1 ?x?0xlnbex?1lim?1 x?0x(1?x)a?1lim?a x?0x
定理3：对于极限过程x?0，我们有 （1）sinx?x?o(x),（2）cosx?1?xtanx?x?o(x)
12x?o(x2) 2（3）e?1?x?o(x) （4）ln(1?x)?x?o(x) （5）(1?x)?1??x?o(x)
上面的内容很有用，因为我们在求乘积或商的极限的时候，可以将任何一个因式用它的等价
?因式来替换。
定理4：如果x?a时?(x)??(x)，那么就有 （1）lim?(x)f(x)?lim?(x)f(x)
x?ax?a（2）limx?a?(x)f(x)g(x)?limx?a?(x)f(x)g(x)
（2）limf(x)f(x) ?limx?a?(x)g(x)x?a?(x)g(x)证明（1）：
??(x)?lim?(x)f(x)?lim??(?(x)f(x))??lim?(x)f(x) x?ax?a?(x)??x?a一些简单的例子：
o(?x)lim???o(?x)?????x?0sin?x?x?o(?x)x???x?lim?lim?? （1）limx?0sin?xx?0?x?o(?x)x?0o(?x)o(?x)?????lim????x?0xx??（2）limtan(tanx)tanx?lim?1
x?0x?0xx22121212x?o(x2))?1x?o(x2)1?x?1(1?x)?12（3）lim?lim?lim?lim2?1 x?01?cosxx?01?cosxx?0x?01212221?(1?x?o(x))x?o(x)22(1?ln(1?x)??ln2(1?x)x2?lim?lim?2 （4）limx?01?cosxx?01?cosxx?012x22第二篇 微积分的基本概念及应用
2.1 导数
导数的定义：设函数f(x)在x0点邻近有定义，如果存在有穷极限
x?x0limf(x)?f(x0),
x?x0那么我们就说函数f(x)在x0点可导，并且把上述极限值称之为函数f(x)在x0点的导数，记为f'(x0)，这是拉格朗日（Lagrange）记号。我们还习惯用?x?x?x0表示自变量x的增量，?x可正可负，用符号?y??f(x0)?f(x0??x)?f(x0)表示函数y?f(x)的相应增量，则导数的定义可以写成
f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?f(x0)?y ?lim?lim?x?0?x?0?x?x?x用莱布尼兹（Leibnitz）记号表示为
df(x0)dy（或） dxdx?f(x0)?y后一记号提示我们导数是差商（或）的极限，人们把导数也叫微商。
?x?x通常人们习惯用增量方式来写导数，这样比较方便，如下面的
f'(x)?limh?0f(x?h)?f(x)f(x??x)?f(x) ?lim?x?0h?x
常见函数的导数：
（1）常值函数f(x)?C，f'(x)?0。 我们有f'(x)?limh?0f(x?h)?f(x)C?C?lim?0 h?0hhm（2）设m?N，函数f(x)?x，f'(x)?mxm?1。
我们有
(x?h)?x?hmm?Ck?0mkmxm?khk?xmh1m?12m?21km?kk?1?(Cmx?Cmxh???Cmxh)
f(x?h)?f(x)(x?h)m?xm1m?1f'(x)?lim?lim?Cmx?mxm?1
h?0h?0hh（2）设m?N，函数f(x)?x?m(x?0)，f'(x)??mx?m?1。
f(x?h)?f(x)1?11?1?11??111?????????????m?1hh?(x?h)mxm?hx?hx(x?h)m?2xxm?1????(x?h)?????1111?????m?1(x?h)x?(x?h)m?2xxm?1??(x?h)?
因而有
?f(x?h)?f(x)1111???lim????h?0h?0?m?1m?2m?1?f'(x)?limh(x?h)x?(x?h)(x?h)xx??1?111?x2??xm?1?xm?1???xm?1????mxm?1（4）幂函数f(x)?x?(x?0,??R)，f'(x)??x??1。
（5）函数f(x)?sinx，f'(x)?cosx。
f(x?h)?f(x)sin(x?h)?sinx2cos??x?h?hh2?sinh?sinh?h???2h?cos???x?2?2?h 2f'(x)?limf(x?h)?f(x)h?0h?cosx
（6）函数f(x)?cosx，f'(x)??sinx
?h?hf(x?h)?f(x)?2sin?x??sinsinhh?cos(x?h)?cosxh??2?2h??sin??h?2?x?2??h 2f'(x)?limf(x?h)?f(x)h?0h??sinx
（7）函数f(x)?ex，f'(x)?ex
f(x?h)?f(x)hh?ex?h?exh?ee?1h，已知limehx?1h?0h?1，
f'(x)?limf(x?h)?f(x)eh?1h?0h?exlimh?0h?ex
（8）函数f(x)?ax，f'(x)?axlna
f(x?h)?f(x)ax?h?hh?axh?aa?1h，已知limahx?1h?0h?lna，
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