或者
??f(x0)?f(x0)?f(x0)
情形II（第二类间断点）：至少一个单侧极限不存在。
注意：单侧极限存在并不代表单侧连续，如果f(x)在x0点单侧极限存在，并且此极限值等于f(x)在x0点的函数值f(x0)，那么就说f(x)在x0点单侧连续。
简单的例子，例如函数
?sinx,x?0? f(x)??x?x?0?0,f(0?)?f(0?)?f(0)，0为第一类间断点。如果改成
?sinx,x?0?f(x)??x
?x?0?1,f(0?)?f(0?)?f(0)?1，则0是连续点。
例如函数
?1x?0?sin,f(x)??x
?x?0?0,左右侧不连续，故0是第二类间断点。
狄里克莱（Dirichlet）函数
?1,D(x)???0,任何x?R都是函数D的第二类间断点。 黎曼（Riemann）函数
如果x是有理数如果x是无理数
?1q,如果x是既约分数pq,q?0R(x)??如果x是无理数?0,所有五里店都是黎曼函数的连续点；所有有利点都是第一类间断点。
1.7 闭区间上连续函数的重要性质
函数在闭区间上连续的定义：如果函数f在闭区间[a,b]上有定义，在每一点x?(a,b)连续，在a点右侧连续，在b点左侧连续，那么我们就说函数f在闭区间[a,b]上连续。
引理：设{xn}?[a,b]，xn?x0，则x0?[a,b]。
定理1：设函数f在闭区间[a,b]上连续。如果f(a)与f(b)异号，那么必定存在一点
c?(a,b)，使得
f(c)?0
定理2（介值定理）：设函数f在闭区间[a,b]上连续。如果闭区间的两端点的函数值
f(a)??与f(b)??不相等，那么在这两点之间函数f能够取得介于?与?之间的任意
值?。这就是说，如果f(a)???f(b)，那么存在c?(a,b)，使得
f(c)??
定理3：设函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在闭区间[a,b]上有界。
定理4（最大值与最小值定理）：设函数f在闭区间[a,b]上连续，M，m分别是函数f在闭区间[a,b]上的最大值与最小值，记
M?supf(x),m?inff(x)
x?[a,b]x?[a,b]则存在x',x''?[a,b]，使得
f(x')?M,
f(x'')?m
一致连续定义：设E是R的一个子集，函数f在E上有定义，如果对任意??0，存在??0，使得只要
x1,x2?E,|x1?x2|??
就有
|f(x1)?f(x2)|??
那么j我们就说函数f在E上是一致连续的。
定理5（一致连续性定理）：如果函数f在闭区间I?[a,b]连续，那么它在I上是一致连续的。
1.8 单调函数和反函数
引理：集合J?R是一个区间的充分必要条件为：对于任意两个实数?,??J，介于?和?之间的任何实数?也一定属于J。
定理1：如果函数f在区间I上连续，那么
J?f(I)?{f(x)|x?I}
也是一个区间。
定理2：如果函数f在区间I上单调。则函数f在区间I上连续的充分必要条件为：f(I)也是一个区间。
反函数定义：设函数f在区间I上连续，则J?f(I)也是一个区间。如果函数f在区间I上严格单调，那么f是从I到J?f(I)的一一对应。这时，对任意y?J?f(I)，恰好只有一个x?I能使得f(x)?y。我们定义一个函数g如下：对任意的y?J，函数值g(y)规定为由关系f(x)?y所决定的唯一的x?I。这样定义的函数g称为是函数f的反函数，记为
g?f?1
我们看到，函数f及其反函数g?f?1满足如下关系：
g(y)?f?f(x)?y
定理3：设函数f在区间I上严格单调并且连续，则它的反函数g?f严格单调并且连续。
?1在区间J?f(I)上
1.9 指数函数，对数函数和初等函数连续性小结
定理1：设a?R,a?1，则有
x（1）lima???
x??x（2）lima?0
x???
定理2：初等函数在其有定义的范围内是连续的。