sh(x?y)?shx?chy?chx?shy
ch2x?sh2x?1，ch2x?ch2x?sh2x，sh2x?2chx?shx (chx)'?shx，(shx)'?chx
（复合函数的求导和微分表示的不变性）
定理2：设函数f(x)在x0点可导，函数g(y)在y0?f(x0)点可导，则复合函数
?(x)?g?f(x)?g(f(x))也在x0点可导，并且
?'(x0)?g'(f(x0))f'(x0)
证明：设辅助函数
?g(y)?g(f(x0))??(y)??y?f(x0)?g'(f(x))0?明显函数?(y)在y0?f(x0)点连续。又由于
,如果y?f(x0),如果y?f(x0)
?(x)??(x0)x?x0?g(f(x))?g(f(x0))g(f(x))?g(f(x0))f(x)?f(x0)??x?x0f(x)?f(x0)x?x0f(x)?f(x0)??(y)?x?x0对于y?f(x0)，直接有
?'(x0)?lim?lim?(x)??(x0)x?x0x?x0?lim?(f(x))?x?x0f(x)?f(x0)x?x0
x?x0g(y)?g(f(x0))f(x)?f(x0)?y?f(x0)x?x0?limg(y)?g(f(x0))f(x)?f(x0)?limy?f(x0)x?x0y?f(x0)x?x0?g'(f(x0))f'(x0)对于y?f(x0)，有
?'(x0)?lim?(x)??(x0)x?x0x?x0?lim?(f(x))?x?x0f(x)?f(x0)x?x0
?limg'(f(x0))?x?x0f(x)?f(x0)x?x0?g'(f(x0))f'(x0)所以命题得证。
复合函数求导法则的另一表示法：将复合函数f(?(t))对t求导得：（(f(?(t)))'，因为是用整个函数f(?(t))对t求导，f'(?(t))是用整个函数对?(t)求导）
(f(?(t)))'?f'(?(t))?'(t)
或者
d(f(?(t)))d(f(?(t)))d?(t) ?dtd?(t)dt两边乘以dt就得到
d(f(?(t)))?f'(?(t))d?(t)
不论x是自变量，或者x??(t)是另一变量t的函数，函数f(x)的微分表示式都具有相同的形式
df(x)?f'(x)dx
这一结论叫做“微分表示的不变性”。
链式法则求导： 定理2中的复合函数求导法则又称链式法则，对于函数z?g(y)与
y?f(x)的符合，链式法则可以形式地写成
dzdzdy?? dxdydx或者书写的格式通常是
(g(f(x)))'?g'(f(x))?f'(x)
简单的例子：
（1）(sinax)'?cosax?(ax)'?acosax （2）(tanbx)'?cxcx(bx)'b ?22cosbxcosbxcx（3）(e)'?e?(cx)'?ce
（4）(sinx)'?cosx?(x)'?2xcosx
（4）ln|x|(x?0)，当x?0时，(ln|x|)'?(lnx)'?22221。当x?0时，x(ln|x|)'?(ln(?x))'?11(?x)'?。因此对于x?0和x?0着两种情况，我们都得到 (?x)x1 x1 (ln|x?c|)'?x?c(ln|x|)'?(ln|?(x)|)'??x?a?（5）?ln，两种方法 ??x?a??x?a?112a?(ln|x?a|?ln|x?a|)'???方法1：?ln ?22x?ax?ax?ax?a???x?a?x?a?x?a?x?a?方法2：?ln，讨论，如果?0，则原式???x?a?x?a?x?a?x?a?''''1??'(x) ?(x)x?a?x?a?2ax?a?x?a?2ax?a????。如果，则原式。 ?0????2222x?a?x?a?x?ax?a?x?a?x?ax?a（6）(esin(x2?c)'')'
sin(x2?c)2(esin(x2?c))'?e(sin(x2?c))'2sin(x2?c)?esin(x2?c)?cos(x?c)?(x?c)'?2xe222122cos(x?c)xx?a222
1?12222（7）(x?a)'?((x?a))'?(x?a)2?(x?a)'?2 （8）(ln(x?x?a))'?v(x)22(x?x2?a2)'x?x?a2222x?a??22x?x?a1?x1x?a22 （9）((u(x)))'
v(x)(u(x)v(x))'?(elnu(x)))'?(ev(x)lnu(x))'?ev(x)lnu(x)(v(x)lnu(x))'u'(x))u(x)u'(x)?u(x)v(x)(v'(x)lnu(x)?v(x))u(x)?ev(x)lnu(x)(v'(x)lnu(x)?v(x)?u(x)v(x)(lnu(x))v'(x)?v(x)u(x)v(x)?1u'(x)
（反函数的求导法则）
从一个简单的例子入手，在OXY坐标系中，函数y??(x)的图像与其反函数x??(y)的图像应该是同一条曲线，设在x0处可导，在(x0,y0)作此图像的切线，该切线与OX轴夹角为?，与OY轴夹角为?，则???2??，于是有 tan??1 tan?1
?'(x0)即
?'(y0)?
定理3：设函数y??(x)在包含x0点的开区间I上严格单调且连续。如果这函数在x0点可导并且导数?'(x0)?0，那么反函数x??(y)在y0点可导，并且
?'(y0)?11?
?'(x0)?'(?(y0))证明：在所给的条件下，函数x??(y)也严格单调并且连续，于是当y?y0,y?y0时，应有?(y)??(y0),?(y)??(y0)，因而
y?y0lim?(y)??(y0)y?y0?lim1111 ?lim??y?y0x?x0?(x)??(x)y?y0?'(x0)?'(?(y0))0?(y)??(y0)x?x0上式可以形式地写成
dx1 ?dydydx简单的例子：
（1）y??(x)?e和x??(y)?lny互为反函数
x?'(x)?ex，?'(y)?1111?lny?，，也可以由反函数求导法则得到?'(y)?y?'(?(y))ey?'(x)?111???ex
?'(y)?'(?(x))1ex（2）?(y)?arccosy，
?'(y)?11111?????
2?'(x)?'(?(y))?'(arccosy)?sin(arccosy)1?y
常见函数的导数：
(C)'?0，C是常数 (xm)'?mxm?1，m是自然数
(x?m)'??mx?m?1，m是自然数 (x?)'??x??1，?是实数
(sinx)'?cosx (cosx)'??sinx
(tanx)'?1?，x??k? 2cosx21(cotx)'??2，x?k?
sinx11?x2(arcsinx)'?，|x|?1
(arccosx)'??11?x2，|x|?1
(arctanx)'?1 1?x21 (arccotx)'??21?x(ex)'?ex
(ax)'?axlna，a?0,a?1
1，x?0 x1，a?0,a?1,x?0 (loga|x|)'?xlna(ln|x|)'?(ln(x?x2?a2))'?1x?a1x?a2222
(ln(x?x2?a2))'?，|x|?|a|