那么
limg(x)?A
x?a定理3：关于函数的极限，有以下的运算法则：
lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)
x?ax?ax?alim(f(x)g(x))?limf(x)?limg(x)
x?ax?ax?ag(x)g(x)limx?a lim?x?af(x)limf(x)x?a定理4（复合函数求极限）：设函数g在b点的某个去心邻域U(b)上有定义，limg(y)?c。
y?b????又设函数f在a点的某个去心邻域U(a)上有定义，f把U(a)中的点映射到U(b)之中（用??记号表示就是：f(U(a))?U(b)）并且limf(x)?b，则有
x?alimg(f(x))?c
x?a多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下： （1）设P(x)是任意多项式，a?R，则
limP(x)?P(a)
x?a（2）设P(x)是任意多项式，Q(x)是非零多项式a?R，Q(a)不都是0，则
limP(x)?a0xm?a1xm?1???am,Q(x)?b0x?b1xnn?1P(x)P(a) ?x?aQ(x)Q(a)，则
（3）设
???bn,a0?0,b0?0???,?P(x)?a0lim??,x??Q(x)?b0??0,因为
如果m?n如果m?n 如果m?n?????,??a0???,??b0??0,?如果m?n如果m?n 如果m?nama1?a????m?m?n0xP(x)xlim?lim?xx??Q(x)x??bb?b0?1???nxxn?
1.5单侧极限
定义（序列方式）：设a?R,A?R，并设函数f(x)在(a??,a)有定义。如果对任意满足条件xn?a的序列{xn}?(a??,a)，相应的函数值序列{f(xn)}都以A为极限，那么我们就说：x?a时函数f(x)的极限为A，记为
x?a??limf(x)?A
定义（???方式）：设a,A?R，并设函数f(x)在(a??,a)有定义。如果对任意??0，存在??0，使得只要
a???x?a
就有
|f(x)?A|??
那么我们就说：x?a时函数f(x)的极限为A，记为
x?a??limf(x)?A
定义（???方式，特殊的A?R,A???）：设a?R，并设函数f(x)在(a??,a)有定义。如果对任意E?0，存在??0，使得只要
a???x?a
就有
f(x)?E
那么我们就说：x?a时函数f(x)的极限为??，记为
x?a??limf(x)???
可用类似的方式来定义x?a的极限。
??定理1：设a?R，并设函数f(x)在a点的去心邻域U(a,?)上有定义。则极限limf(x)存
x?a在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等：
x?a?limf(x)?lim?f(x)?A
x?a当这条件满足时，我们有
limf(x)?A
x?a单调函数定义：设函数f在集合S?R上有定义。
（1）如果对任意x1,x2?S，x1?x2，都有
f(x1)?f(x2)
那么我们就说函数f在集合S上是递增的或者单调上升的。 （2）如果对任意x1,x2?S，x1?x2，都有
f(x1)?f(x2)
那么我们就说函数f在集合S上是递减的或者单调下降的。 （3）单调上升函数与单调下降函数统称为单调函数。
1.6 连续与间断
定义I：设函数f(x)在x0点的邻域U(x0,?)上有定义。如果对任何满足条件xn?x0的序列{xn}?U(x0,?)，都有
xn?x0limf(xn)?f(x0)
那么我们就说函数f在x0点连续，或者说x0点事函数f的连续点。
定义II：设函数f(x)在x0点的邻域U(x0,?)上有定义。如果对任意??0，存在??0，使得只要|x?x0|??，就有
|f(x)?f(x0)|??
那么我们就说函数f在x0点连续，或者说x0点事函数f的连续点。
定理1：设函数f在x0点连续，则存在??0，使得函数f在U(x0,?)上有界。（证明过程参考函数极限）
定理2：设函数f(x)和g(x)在x0点连续，则 （1）f(x)?g(x)在x0点连续； （2）f(x)?g(x)在x0点连续； （3）
f(x)在使得g(x0)?0的x0处连续； g(x)（4）cg(x)在x0点连续。
定理3：设函数f(x)在x0点连续，则函数|f(x)|也在x0点连续. 证明：||f(x)|?|f(x0)||?|f(x)?f(x0)|，余下易证。
定理4：设函数f(x)和g(x)在x0点连续。如果f(x0)?g(x0)，那么存在??0，使得对于x?U(x0,?)有
f(x)?g(x)
定理5（复合函数的连续性）：设函数f(x)在x0点连续，函数g(y)在y0?f(x0)点连续，那么复合函数g(f(x))在x0点连续.
定义单侧连续：设函数f(x)在(x0??,x0]上有定义，如果
?x?x0limf(x)?f(x0)
那么我们就说函数f(x)在x0点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号
??f(x0)?limf(x),f(x0)?limf(x) ??x?x0x?x0我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等（这个相等值为极限值A，不一定是该点的函数值f(x0)），可以写成
??f(x0)?f(x0)?A
但是如果在x0点左连续和右连续，则说明在x0点两个单侧极限存在并且相等，且这个相等的值一定是该点的函数值f(x0)），可以写成
??f(x0)?f(x0)?f(x0)
f(x)在x0点左连续和右连续是f(x)在x0点连续的充分必要条件。
简单的说就是：
f(x)在x0点连续?f(x)在x0点左连续,右连续f(x)在x0点连续?f(x)在x0点两个单侧极限存在,且值为f(x0)
定理6：设函数f(x)在U(x0,?)上有定义，则f(x)在x0点连续的充分必要条件是
??f(x0)?f(x0)?f(x0)
反过来说，如果f(x)在U(x0,?)上有定义，但f(x)在x0点不连续，则称x0为间断点。有情形I和情形II，这两种情形下x0点分别成为第一类间断点和第二类间断点。 情形I（第一类间断点）：两个单侧极限都存在，但
??f(x0)?f(x0)