第0章 预备知识（场论）
场论是流体力学的数学基础，因此，本章将简明扼要地介绍流体力学中常用的场论知识，便于读者学习中应用。
标量、向量、张量及场的概念
0.1.1标量、向量、张量及场的概念
物理量按其空间维数可分为标量、向量与张量。标量只有大小没有方向，只需一个数量及单位即可表示，如流体的温度T?T(r,t)、密度???(r,t)等是标量，这里r是空间点位置，t是时间变量。向量也称为矢量，它既有大小又有方向，可由某一空间坐标系的三个坐标分量来表示，如流体的速度v?v(r,t)、加速度a?a(r,t)等是向量。本书中向量用黑体字表示。三维空间中的二阶张量必须由九个分量才能完整地表示，如流体中一点的应力P?P(r,t)、变形速率???(r,t)等是二阶张量。在三维空间中由3个分量来表示的量称为n阶张量，n为
n
阶数。从张量的概念来讲，标量是零阶张量（n?0），向量是一阶张量(n?1)。 如果在全部空间或部分空间的每一点都对应某物理量的一个确定值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个“场”。也就是说，场是具有物理量的空间。如果这个物理量是标量，就称这个场为标量场，如温度场、密度场等。如果这个物理量是向量，就称为向量场，如速度场、加速度场等。如果这个物理量是张量，就称为张量场，如应力场、应变场等。 场和函数相对应。标量场对应标量函数，向量场对应向量函数，而张量场对应张量函数。场的研究方法是将物理量作为空间点位置r和时间t的函数，t作为参变量处理，即分析t时刻场的情况。不讨论各种场具体的物理意义，而从数学上研究场的一般规律的学科称为“场论”。
??c1??c2 0.1.2场的几何描述 （1）标量场的
??c3
等值面
在场中t时刻，由标量函数?(r,t)数
图0.1.1 等值面
值相同的点所
组成的曲面称为等值面，即
?(r,t)?c(t)（同一等值面c(t)上为常数） (0.1.1)
c(t)取不同值对应于不同的等值面，如图0.1.1所示。等值面直观地描绘了标量在场中的分布
情况。
1
（2）向量场的向量线
向量线是这样的曲线，它上面每一点处曲线都与对应于该点的向量
a=axi+ayj+azk相切。
若向量线上任意一点M的位置用矢径r=xi+yj+zk（即图0.1.2中OM）表示，根据向量线的定义，矢径微分dr=dxi+dyj+dzk方向与a的方向相同，即差积为零
dr?a?0
表示为
（0.1.2）
这就是向量线的微分方程。在直角坐标系中上式
dxdydz??（0.1.3） axayaz解此方程得向量线族。向量线族直观地描绘了向量在场中的分布情况。
在a不为零的情况下，当ax，ay，az单值连续且有一阶连续偏导数时，向量线连续分布于向量场所在的空间，而且互不相交，如图0.1.2所示。如果向量a为流体的流速v，向量线就是流线。
o M z ry x 图0.1.2 向量线
向量及张量的基本运算
0.2.1向量运算符号规定
（1）爱因斯坦（Einstein）求和符号
在数学式子中出现的一对符号相同的指标，称为爱因斯坦求和符号，它是哑指标，表示求和。例如
aiei?a1e1?a2e2?a3e3?a (0.2.1)
式中ai，ei分别是向量a在正交坐标系中的坐标分量和坐标轴单位向量。又如
k1aibi?k2ej?ej?k1(a1b1?a2b2?a3b3)?3k2
（2）克罗内克（Kronecker）?符号
任意两个正交坐标轴单位向量的点积用?ij表示，称为克罗内克?，即
1ei?ej??ij???0?式中i,j是自由指标，?ij可写作
i?ji?j(i,j?1,2,3) (0.2.2)
?11??22??33?1;?23??32??12??21??13??31?0
（3）置换符号
任意两个正交坐标轴单位向量的叉积可表示为
2
ei?ej??ijkek (0.2.3)
式中?I j k称为置换符号，也称利奇（Ricci）符号，其数值如下
?ijk?0i，j，k中有2个或3个自由指标值相同（0.2.4） ??,?,偶次置换?1i，j，k?123,231??1i，j，k?132,321,?,奇次置换?即?123=?231=?312?1，?132=?321=?213?-1，其余分量为零。由此可知，?ijk中任意两个自由指标对换后，对应的分量值相差一个负号，如?132=-?123，故?ijk称为置换符号。 置换符号?ijk和?符号之间有如下关系
?ijk?klm??il?jm??im?jl（0.2.5）
0.2.2向量运算的常用公式
（1）a?b?aiei?biei?(ai?bi)ei
（1） a?b?aiei?bjej?aibjei?ej?aibj?ij?aibi
e1（2） a?b?aiei?bjej?aibjei?ej?aibj?ijkek?a1b1（3） a?(b?c)?(a?b)?c?c?(a?b)?(c?a)?b （4） a?(b?c)?(a?c)b?(a?b)c
（5） (a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(b?c)(a?d) 0.2.3向量分量的坐标转换
e2a2b2e3a3 b3下面讨论某一直角坐标系旋转至一新的方位时坐标轴单位向量及向量分量之间的转换关系。因为向量a与坐标系无关，因此
a?aiei?ai?ei?（0.2.6）
?其中e?i,ai和ei,ai分别是新老直角坐标系中坐标轴的单位向量和坐标分量，如图0.2.1所示。
?x3x3显然有
?x2 x
2?1??ei?ej?ei?ej??ij???0i?ji?j (i，j=1,2,3)
（0.2.7）
且新老两坐标系单位向量之间存在下列关系
x1?x1
图0.2.1 坐标系
3
e?1??11e1??12e2??13e3??e?2??21e1??22e2??23e3? （0.2.8a）
?e?3??31e1??32e2??33e3?其中?ij?e?i?ej是两坐标系不同坐标轴间夹角的余弦。式（0.2.8a）可用表0.1直观地表示，或简写为
e?i??ijej,ei??jie?j(i,j?1,2,3) （0.2.8b）
将式（0.2.8a）或表0.1代入式（0.2.7），可以得到如下六个关系式
?11?12??21?22??31?32?0??12?13??22?23??32?33?0??13?11??23?21??33?31?0??222? （0.2.9） ?11??21??31?1?222?12??22??32?1?222??13??23??33?1?或简写为
表0.1 坐标轴间方向余弦
e1e2e3?e1e?2e?3?11?12?21?22?31?32?13?23?33?ij?ik??jk （0.2.10）
利用坐标系单位向量之间的转换关系式（0.2.8），可得两坐标系中向量分量之间的转换关系
ai??aj(ej?e?j)??ijaj??(i,j?1,2,3)（0.2.11）
ai?a?j(ei?e?j)??jia?j?0.2.4二阶张量及其基本运算
力学中最常用的张量是二阶张量。二阶张量就是两个向量的并积，可表示为
（0.2.12a） B?ac?aieicjej?aicjeiej?bijeiej（i,j?1,2,3）
式中bij是二阶张量在坐标轴单位向量为e1,e2,e3的正交坐标系中的九个分量（也称为元素），通常用矩阵的形式可写成
?b11?bij??b21?b?31b12b22b32b13??b23?（0.2.12b） b33??eiej是二阶张量的基，其分量也有九个。注意eiej?ejei。
4
若二阶张量的下标i，j互换后所代表的分量不变，即bij=bji，称为二阶对称张量。这时各元素关于主对角线对称，因而只有六个独立的分量。若二阶张量的分量满足关系bij=-bji，则称为二阶反对称张量。这时主对角线上各分量为零，因而只有三个独立的分量。任意一个二阶张量均可以唯一地分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量，即
bij?等式右边第一项为对称张量，第二项为反对称张量。 （1）二阶张量及其基本运算规则
①ab?cd?(aibj?cidj)eiej ②a?bc?(a?b)c?(b?a)c?c(b?a) ③ab?cd?a(b?c)d?(b?c)ad?ad(c?b)
11(bij?bji)?(bij?bji)（0.2.12c） 22④c?ab?d?(c?a)(b?d)?(d?b)(c?a)?(d?b)(a?c) ⑤ab?c?a(b?c)
(2) 二阶张量的坐标变换 按张量定义
?e??B?bijeiej?bijiej（0.2.13）
?分别是对应于新旧两个坐标系中的张量分量。式中bij与bij利用坐标系单位向量之间的转换关
系式（0.2.8）可得对应的坐标变换关系
??e????bklk?(bijeiej)?el?bij(ek?ei)(el?ej)?bij?ki?lj (k,l?1,2,3) （0.2.14） ?e??????bij?ei?(bklkel)?ej?bkl(ei?ek)(ej?el)?bkl?ik?jl (i,j?1,2,3) （0.2.15）
例如
??b11?11?21?b12?11?22?b13?11?23?b21?12?21?b22?12?22?b23?12?23b12?b31?13?21?b32?13?22?b33?13?23
标量场的方向导数和梯度
0.3.1方向导数
?M0
lM 过标量场?内任一点M0作一射线l，在l上取一邻近M0的动
????????(M)??(M0)点M（见图0.3.1），记M0M=?，若极限lim??0M0M图0.3.1 方向导数
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