介??介介介介圆 ??圆介a b 当流场中有三种互不侵入的介质共存时，三种介质的界面交于一曲线见图1.4.1a，如果其中一个界面为固壁，该交线称为接触线见图1.4.1b。在平衡状态时，界面的交线或接触线上三个表面张力的合力等于零，即
?12??23??31?0 （1.4.1） 其中?12,?23,?31分别为两种介质交界面上的表面张力。
我们把接触线上流体界面的法向量和固壁面法向量间的夹角称为接触角。法向量方向规定如下：在流体界面上法向量指向被观察的流体一侧；在固壁面上法向量指向固壁内侧。如图1.4.1b所示，介质1与固壁的接触角为?1，此时流体界面的法向量指向介质1，介质2与固壁的接触角为???1。接触角的大小取决于固壁材料和流体的性质，例如，当介质1、介质2、及固壁分别为水、空气、及玻璃时，水与玻璃的接触角?1?90，当介质1改为水银时，水银和玻璃的接触角?1?90，约为150。接触角越小，称该液体在固壁上越容易湿润。特别地，当接触角??0时，称液体和固壁是完全浸润的；接触角???时，称液体和固壁是非浸润的。
由于气、液、固三种界面之间的浸润作用，我们经常在垂直细管中见到凸凹的液面，这种现象称为毛细现象。图1.4.2a和1.4.2b是玻璃管中水（或酒精）和水银的毛细现象，前者为易浸润，后者为不易浸润。 3.流-固界面上速度的连续性
对于粘性流体，如果不考虑界面上的表面张力，由于流体的粘性，在界面上流体的速度v和固体运动的速度vb相等，即
000v?vb （1.4.2）
这表明粘性流体在与固体的接触面上无滑移，称为无滑移条件。
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对于理想流体，由于不存在剪切应力，界面上允许流体有切向滑移，但流体不能穿透界面，即流-固界面上的速度在法线方向n上的投影相等
v?n?vb?n （1.4.3a） 或
vn?vbn （1.4.3b）
该式称为理想流体在界面上的不可穿透条件。
1.5作用在流体上的质量力和表面力
作用在流体上的力按其物理成因可分为惯性力、重力、粘性力、压力和电磁力等，而从
SM?n M?St ?P?FM?V图1.5.1质量力和表面力
力的作用方式上可分为质量力、表面力和表面张力。表面张力的概念前面已经讲述，下面介绍质量力和表面力。
在流体中任取一分离体，设其体积为V，边界面为S，如图1.5.1所示。外界作用在分离体内均布质量质心上的力称为质量力，或说外界作用在分离体内流体质点上的力称为质量力，也称体积力。如重力、惯性力等均为质量力。周围流体或物体作用在分离体边界面上的力称为表面力。压力就是一种表面力。下面给出这两种力的数学表示并讨论有关性质。 1.5.1质量力
流体是连续分布的，研究的区域可能为无穷大，因此质量力常用单位质量流体的质量力来表示。
如图1.5.1所示，在分离体V内任取一微元体积?V，设其质量为?m，承受的质量力为?F，M(x,y,z)为?V内一点，则?V收缩到M点的极限
f(x,y,z)?lim称为M点流体的单位质量力。 根据牛顿第二定律
?F1?FdF?lim?（1.5.1）
?m?0?m??V?0?V?dVdF?dm?a（1.5.2）
其中a为流体的加速度，将上式代入（1.5.1）式得
f?a（1.5.3）
即单位质量力就等于质量力所引起的加速度。在重力场中，单位质量力就是重力加速度
f?g（1.5.4） 若f在直角坐标系坐标轴上的分量为fx,fy,fz，则
f?fxi?fyj?fzk（1.5.5）
作用于分离体V上质量力为
F?????f(x,y,z,t)dV（1.5.6）
V22
1.5.2表面力
表面力通常用应力来表示。如图1.5.1所示，M为边界面S上的任意一点，在M点邻域内取一微元面积?S，设作用在?S上的表面力为?P，则?Sn为?S的单位外法向量。收缩至点M的极限
'''pn?lim称为M点的应力。
作用在边界面S上表面力的合力为
'?PdP?（1.5.7）
?S?0?SdSP???pnds（1.5.8）
S'在粘性流体中，由于剪切应力的存在，一般应力pn与?S在M点的法向量n方向不一
致。将应力pn沿法线方向n和切线方向t投影，分别得法向应力pnn和剪切应力?
pnn?pn?n，??pn?t (1.5.9)
因为过M点可以做无数个面，所以应力pn不仅与作用点的空间位置和时间有关，还与作用面的方位n有关。实际上，粘性流体内部一点处的应力是一个二阶张量（见7.1节），应力场是一个张量场。
1.5.3理想流体中一点处的应力
由于理想流体中没有剪切应力?，只有法向应力pn，又因流体只能承受压力，不能承受拉力，因此理想流体的表面力只有法向压应力，即
'p??pn?n （1.5.10）
负号表示
p指向n的相反方向（p??pnn），这个法向压应力就是压强。在流体力学中，习
惯上将压强称为压力。下面介绍理想流体压力的两个性质： （1）压力是唯一的表面力，指向作用面的内法线方向；
（2）压力的大小只是位置和时间的函数，与作用面的方位无关。
由上述可知，性质（1）是显然的，下面通过力的平衡方程证明性质（2）。
证明：某一瞬时在理想流体中任取一过点A(x,y,z)的微元四面体ABCD，它的棱边分
D dzpx pnCpyA dyoxBdxpzy 图1.5.2 理想流体中一点处的应力
别为dx,dy,dz，体积为?V，如图1.5.2所示。先考虑质量力，该微元四面体受到的质量
力在坐标轴x,y,z上的分量为
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fx??V??fy??V? （1.5.11） fz??V??再考虑表面力，设与坐标面平行的三个表面ACD,ABD,ABC上的平均压力分别为
pxx,pyy,pzz，外法线为n的斜面BCD上的平均压力为p，则作用在各微元面积上的压力
为
pxx?ACD?pyy?ABD??? （1.5.12）
pzz?ABC?pnn?BCD??最后考虑惯性力，设微元四面体的运动速度在坐标轴x,y,z上的分量为u,v,w，则惯
性力在各坐标轴上的分量为
du???V?dt?dv????V? （1.5.13） dt?dw???V??dt??理想流体在运动过程中，作用在该四面体上的质量力、表面力和惯性力应相互平衡。以
x方向为例，有
fx??V?pxx?ACD?p?BCDcos(n,x)?因
du??V?0 （1.5.14） dt11dydz,?V?dxdydz 26将其代入（1.5.14）式，令dxdydz?0（四面体趋于A点），并略去高阶小量得
pxx?p （1.5.15）
即作用于A点负x轴方向和?n方向的压力相等。
?ACD??BCDcos(n,x)?同理可得
pxx?pyy?pzz?p （1.5.16）
因为微元四面体是任选的，方向n具有任意性，因此（1.5.16）式表明理想流体中任一点各个方向的压力大小相同，与作用面的方位无关，仅与作用点的空间位置和时间有关，即压力可表示为空间坐标和时间变量的标量函数
p?p(x,y,z,t) （1.5.17）
根据理想流体的这个性质，知道了物体的形状和物面上流体的压力分布函数，就可以求出流体对物体的作用力和力矩。
习 题
1-1连续介质假设的条件是什么？
1-2设稀薄气体的分子自由行程是几米的数量级，问下列二种情况连续介质假设是否成立？
① 人造卫星在飞离大气层进入稀薄气体层时；② 假想地球在这样的稀薄气体中运动时。 1-3粘性流体在静止时有没有切应力？理想流体在运动时有没有切应力？静止流体中没有粘
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性吗？
1-4在水池和风洞中进行船模试验时需要测定由下式定义的无因次数（雷诺数）
Re?UL?
其中U为试验速度，L为船模长度，?为流体的运动粘性系数。如果U?20ms，
L?4m，温度由100C增到400C时，分别计算在水池和风洞中试验时的Re数。
?4?4（10?C时水和空气的运动粘性系数为0.013?10，0.014?10,40?C时水和空气的
yUUyUyUFyhu?Uyh?o习题1-5图
?4
?4AB 习题1-6图
运动粘性系数为0.0075?10,0.179?10）
1-5底面积为1.5m2的薄板在静水表面以速度U?16ms做水平运动（如图所示），已知流体层厚度h为4mm，设流体的速度为线性分布，求移动平板需多大的力？（其中水
为20?C）
1-6 设物面附近流体的流动如图所示，如果?内流速按抛物线分布
u?U(2d?y??y2?2)
U?20m，??10cm，温度为15?C，试问流体分别为水和
s空气时，作用于壁面OAB上的剪切应力。
?l 1-7有一旋转粘度计如图所示。同心轴和筒中间注入牛顿流体，筒与轴的间隙?很小，筒以? 等角速度转动。设间隙中的流体速度沿矢径方向且为线性分布，l很长，底部影响不计。如测得轴的扭矩为M，求流体的粘性系数。
?习题1-7图
第2章 流体静力学
本章研究处于静止状态流体的压力分布规律以及静止流体对物体的作用力。这里所说的静止状态是指流体对于选定的参考坐标系没有相对运动。流体静力学是研究船舶与海洋结构物的浮性、稳性、抗沉性，以及水坝设计等问题的基础。
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