存在，称其为标量?在M0点处沿方向l的方向导数，记作中表示为
???l。方向导数在直角坐标系
M0???l?M0??????cos??cos??cos?（0.3.1） ?x?y?z其中
??????,,为函数?在M0点的偏导数；cos?,cos?,cos?为射线l的方向余弦，他?x?y?z们相应于l的单位向量el的坐标分量，即el?cos?i?cos?j?cos?k。 0.3.2梯度 （1）梯度的定义
梯度是这样的向量，它的值为最大方向导数值，其方向为最大方向导数所对应的方向。 由式(0.3.1)知
?????????(i?j?k)?(cos?i?coa?j?cos?k) ?l?x?y?z令
G?则
??????i?j?k ?x?y?z???G?el?Gcos(G,el) ?l由上式可见，当el和向量G的方向一致时，cos(G, el)=1，方向导数取得最大值见，向量G就是函数?在给定点的梯度，记作
???G。可?lgrad??其中??i??????i?j?k??? (0.3.2) ?x?y?z????j?k称为哈密尔顿（Hamilton）算子，读作Nabla。 ?x?y?z顺便指出，哈密尔顿算子具有微分和向量的双重运算性质，它适用于任意正交坐标系，但在不同坐标系中表达形式不同。由于推导公式或证明恒等式时常常在直角坐标系中更为简便，所以哈密尔顿算子在直角坐标系中的表达式最为常用。
（2） 梯度的性质
①梯度▽在某一方向el上的投影，等于标量?在该方向上的方向导数，即
?6
???el??????? ?l??dl=d?（0.3.3）
，这dl=dlel。
上式表明，由梯度可以知道物理量?沿el方向经过dl距离的增量，即▽
②梯度▽垂直于标量的等值面，且指向增大的方向。若n表示的等值面法向单位向量且指
????n???n。这表明由梯度表示?沿n方向的方向导数，则有????n?n??可以求得等值面的单位法向量n??。
??向增大的方向,
?（3） 梯度的基本运算公式 ①?c?0（c为常数） ②?(c?)?c??（c为常数） ③?(???)?????? ④?(??)???????? ⑤?f(?)?f(?)??
需要指出，当哈密尔顿算子▽作用于一个向量a时，即▽，称为向量的梯度，此时它是一个二阶张量。
a
'向量场的通量和散度
0.4.1通量
在向量场a中任取一有向曲面S，n 为曲面S的法向量， 如图0.4.1所示，则曲面积分
Sna（0.4.1）
SQ???a?ds???a?nds???ands
SS称为向量场a通过曲面S的通量。流体力学中常用的通量是流量，这时a代表流速v。
图0.4.1 通量
l 0.4.2散度
n a
M 在向量场a中任一点M的邻域内作一包含该点的任意封闭曲面?S，设其外法向量为n，包围的空间体积为?V，如图0.4.2所示。当?S以任意方式缩向M点时，若极限lim?S?M?S?V
???a?ds?S?V存在，称其为向量场a
在M点的散度，记作diva。散度在直角坐标系中表示为
图0.4.2 散度
diva??ax?ay?az?????a（0.4.2） ?x?y?z由定义可知，散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的通量。若diva>0，
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表示物理量在该点向外散发，称该点有源；若diva<0，表示物理量在该点向内吸收，称该点有汇。|diva|称为源或汇的强度。若物理量的散度处处为零，称该物理量的场为无源场，否则为有源场。
0.4.3散度的基本运算公式
⑴??(ca)?c??a（c为常数） ②??(a?b)???a???b
③??(?a)????a????a（?为标量）
向量场的环量和旋度
0.5.1环量
在向量场a中任取一有向封闭曲线l，则曲线积分
???a?dl
l （0.5.1）
称为向量a沿曲线l的环量。 0.5.2旋度
（1）旋度的定义
首先给出环量面密度的定义。在向量场a中任取一点M，过M点作任意方向n，再以n为法向量作一微元面积ΔS，设其边界线为Δl，如图0.5.1所示。当ΔS以任意方式缩向M点时，若极限lim[a?dl]?S 存在，称其为向量a在点M处沿n方
?s?M?l???Sn
M?l
向的环量面密度，记作?n。由于n具有任意性，过M点有无穷多个环量面密度值。
旋度是这样的向量，它的值为环量面密度的最大值，它的方向为最大环量面密度所对应的方向，记作rota。依定义有
图0.5.1 环量面密度
rota?n?lim?S?M?l?a?dl?S??n。这里?l是可缩闭曲线，它的
方向与n满足右手螺旋法则。旋度在直角坐标系中表示为
i?ay?ay?ax?a?a?a?rota?i(z?)?j(z?x)?k(?)??y?z?x?z?x?y?xax（2）无旋场的性质
j??yayk????a（0.5.2） ?zaz若场中向量a的旋度处处为零，则称向量场a为无旋场，否则为有旋场。无旋场具有如下两
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个性质：
①无旋场必为有势场
无旋场a满足??a?0，则必存在一个标量函数?，有
a???（0.5.3）
?称为向量a的势函数。势函数?可由上式两边点乘dl?dxi?dyj?dzk后积分得到
?????????dx?dy?dz??axdx?aydy?azdz（0.5.4） l?xl?y?z此积分与路径无关。反之，有势场必为无旋场，即???a???a?0。
②无源无旋的向量场是调和场
若向量场a处处无旋，由性质①可知存在势函数?，且a???。如果a同时无源，即
??a=0，则有
?2??2??2???a??????2?2?2??2??0（0.5.5）
?x?y?z?2?2?2其中??2?2?2称为拉普拉斯（Laplace）算子，读作Laplacian。方程?2?????叫
?x?y?z2做拉普拉斯方程。这时向量场a称为调和场，相应的势函数?是个调和函数。满足拉普拉斯方程而且具有二阶连续偏导数的函数称为调和函数。
（3）旋度的基本运算公式 ①??(ca)?c??a（c为常数） ②??(a?b)???a???b
③??(?a)????a????a（?为标量）
④??(??)?0
⑤??(a?b)?b?(??a)?a?(??b) ⑥??(??a)?0
高斯公式及斯托克斯公式
0.6.1高斯（Gauss）公式
设V为一封闭表面S所包围的体积，n为表面S的单位外法线向量，如图0.6.1所示，若物理量a或?在V+S上一阶偏导数连续，则有高斯公式
?????adV???a?nds (0.6.1)
VS将上式推广，有广义的高斯公式
?????dV???n?ds (0.6.2)
VS9
?????adV???n?ads (0.6.3)
VS（广义）高斯公式将体积分和面积分联系起来，可实现体积分和面积分之间的相互转换，在流体力学中有广泛的应用。
0.6.2斯托克斯（Stokes）公式
若l为曲面S的边界线，且为可缩曲线，向量a在S+l上一阶偏导数连续，则
Snal??(??a)?nds??a?dl（0.6.4）
S称为斯托克斯公式。式中n为曲面S的单位法向量，方向与积分周线l的方向符合右手螺旋法则，如图0.6.1所示。可见，斯托克公式可以实现面积分和线积分之间的相互转换。
图0.6.1
l 0.7哈密尔顿算子、梯度、散度、旋度及调和量 在
正交曲线坐标系中的表示式
梯度、散度、旋度及调和量的定义与坐标系无关。前面已给出了它们在直角坐标系中的表示形式，但是在许多问题中往往选择正交曲线坐标系中求解更为方便，下面给出它们在正交曲线坐标系中的表示形式。
0.7.1 正交曲线坐标系
在曲线坐标系（q1,q2,q3）中，若空间任意一点M处
q3z
e3e2 q2的坐标曲线都相互正交（即各坐标曲线在该点的切线相互正交），相应地各坐标曲面也相互正交（即各坐标曲面在该点的法线相互正交），如图0.7.1所示，这种坐标
M?q1,q2,q3?
e1
rO q1系称为正交曲线坐标系。柱坐标系和球坐标系是常见的正交曲线坐标系。
在正交曲线坐标系中任意向量a表示为
y xa?a1e1?a2e2?a3e3（0.7.1）
其中e1,e2,e3为坐标轴单位向量，a1,a2,a3为矢量a在图0.7.1 正交曲线坐标系
e1,e2,e3方向上的坐标轴分量。
这里要注意e1,e2,e3和直角坐标系坐标轴单位向量i,j,k之间的区别。e1,e2,e3随点M
的变化而变化的，它是曲线坐标（q1,q2q3）的函数，即e1?e1(q1,q2,q3)，e2?e2(q1,q2,q3)，
e3?e3(q1,q2,q3)，而i,j,k是常矢。
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