流体静力学基本方程及其应用
因静止流体中没有流体间的相对运动，不存在剪切应力，粘性不起作用，因此理想流体压力的两个性质对静止流体同样适用，即静止流体中压力是唯一的表面力。 2.1.1静止流体的平衡微分方程
在流体中任取一边界面积为S，体积为V的流体团，n为S的单位外法向量，如图2.1.1所示。流体团受到的质量力为
zp???表面力为
V?fdV（2.1.1）
V n Sy负号表示压力指向边界面的内法线方向。
对流体团列力的平衡方程有
???pnds（2.1.2）
Sx图2.1.1
?????SV?fdV???pnds?0（2.1.3）
S利用推广的高斯公式（0.6.2），将S上的面积分转化为V上的体
积分
pnds?????pdV （2.1.4）
V并代入（2.1.3）式，得
???(?f??p)dV?0 （2.1.5）
V由于所选取的流体团具有任意性，因此上式恒成立的充要条件是被积函数为零，即
f?1??p （2.1.6）
这就是静止流体的平衡微分方程，它表明作用在单位质量静止流体上的质量力与压力的合力
相互平衡。
平衡方程（2.1.6）在直角坐标系中的表示式为
1?p???x??1?p?fy?? （2.1.7）
??y?1?p?fz???z??在流场中压力p?const的面称为等压面。显然，在等压面上?p?0，或dp?fxdx?fydy?fzdz?0，由此可确定等压面方程。
fx? 等压面是一个重要的概念，对于不可压缩流体，由梯度的性质可知，质量力垂直于等压面。在重力场中，因重力垂直向下，所以等压面为水平面。如绝对静止杯中的水表面是水平面就是这个道理。
2.1.2重力场中不可压缩静止流体的压力分布
1. 静力学基本方程 在重力场中
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fx?fy?0,将其代入（2.1.7）式得
fz??g （2.1.8）
??p?0??x??p??0? （2.1.9） ?y??p???g???z?可见，p与x,y 无关，只是z的函数。因此可将（2.1.9）式中关于z的偏微分改为全微分
dp???g （2.1.10） dz对于不可压缩流体，??const，积分上式得
p???gz?c （2.1.11）
若自由面z?z0上压力p?p0，将其代入上式确定积分常数c，整理得
p?p0??(z0?z) （2.1.12）
记h?z0?z为作用点的淹没深度，上式还可写成另一种常用形式
p?p0??h （2.1.13）
式（2.1.12）或（2.1.13）称为静力学基本方程，它反映了重力场中不可压缩静止流体的压力分布规律。由静力学基本方程可以看出：
⑴ 在重力场中，不可压缩静止流体的压力分布是线性的，随深度h呈线性增加。
⑵ 静止流体中一点的压力p由两部分组成：一是通过自由面均匀传递的压力p0；二是由重力产生的压力?h，等于单位底面积上高度为h的流体柱的重量。
⑶在同一种流体（??const）的连通域中，由同一深度流体质点构成的平面为等压面，即水平面是等压面。这是测压计的基本原理。
(p?p0) 压力有多种表示方法： p称为绝对压力，它的值大于或等于零，p?0为真空。称为相对压力，即p相对于p0的压力。若p0为大气压力pa，相对压力pm?p?pa?0称为表压力或测压计压力，即高出大气压的压力；当p?pa?0时， pv?pa?p?0称为真
空度，表示低于大气压的压力值，pv?pa即真空。上述压力表
p pm p pv pp =0 图2.1.2 压力的表示
工程大气压 ata 1 1.033 示如图2.1.2所示。
2.压力的单位
在国际单位制中，压力计量单位是帕斯卡Pa，1Pa?1N/m2。 在工程上，常以工程大气压（at）、标准大气压（atm）、巴（bar）及液柱高度作为计量压力的单位。压力单位之间的换算关系参见表2.1。例如：
表2.1 压力单位之间的关系
巴 bar 0.981 1.013 国际单位制 N/m2 9.81×104 标准大气压 atm 0.968 1 米水柱 m 10 10.33 毫米汞柱 mmHg 735.6 760 27
1.013×105
1.02 0.987 1 1×105 10.2 750.2 1标准大气压(atm)?1.013?105Pa?760mm(Hg)?10.33m(H2O)
1工程大气压(at)?1kgfcm2?0.981?105Pa?10m(H2O)2.1.3压力计——静力学基本方程的应用
用来测量流体压力的仪器称为压力计或测压计。在流体力学实验技术中，压力计是最常用的仪器之一。根据静力学基本方程可以设计出多种压力计，下面介绍几种常用的压力计。 1. U形压力计
最简单的U形压力计如图2.1.3所示，其一端为待测压力p，
p0 p h 另一端为已知压力p0（如大气压pa）。当液面两端压力不等时，产生高度差h，读出h值，根据
p?p0??h （2.1.14） 即可得出未知压力p。根据压力差p?p0的大小，U形管中可选用水银、水或酒精等。 2. 斜管压力计
斜管压力计是一种结构简单，使用方便，能够测量较小压力差的压力计。如图2.1.4所示，它由一个截面积为F的大容器和一个截面积为f的细管连接而成。斜管与大容器间的倾斜角为?。图中
图2.1.3 U形压力计
虚线是两端液面没有压力差作用时的连线。当p?p0时斜管液面上升距离l，大容器液面下降h2高度。p l pa α h1 h2 f 读出l值，
图2.1.4 斜管压力计
根据下面公
p。 式即可得到未知压力
由于
Fh2?lfh1?lsin?则
（2.1.15）
p0?p??(h1?h2)??(lsin??l记
f) （2.1.16） Ff
Fsin?则待测压力p为 K?1?p?p0?K?lsin? （2.1.17）
其中K称为斜管压力计的校准系数，随?的不同而不同，通常由实验确定。由（2.1.17）式可
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见，在同样压力差p?p0作用下，斜角?越小，l越大，越有利于提高实验精度，但?也不能太小，一般不能小于6?~7?。在实验中，斜管和大容器间的夹角??做成可调的，通过调整来满足不同测压范围的要求。 3. 双液体压力计
双液体压力计也是测量较小压力差的常用压力计。如图2.1.5所示，
p2 h p1 两个大容器通过一个U形细管连接，其中分别注入重度为?1和?2 (?1??2)的两种液体。当U形细管液面两端压力不等时，出现高h度差h0，读出h0值，根据下列公式可得压力差p1 ?2 2?p1。
由图可见，U形细管pA、B两端的压力分别为
A hB pB 0 A pA?p2??2h1
?1 pB?p1??2[(h1?h2)?h0]
且
图2.1.5 双液体压力计
pA?pB??1h0
联立以上三式得
p2?p1?(?1??2)h0??2h（2.1.18）
又因
Fh?fh0
将其代入（2.1.18）式得
pp?f?2?1???(?1??2)??2F??h0（2.1.19）
由于f较F小得多，因此，即使p2?p1很小，h0也会较大。同时，由上式可见，在相
同的(p2?p1)情况下，(?1??2)越小，h0就越大，越有利于提高测量精度。 2.1.4非惯性坐标系中静止流体的压力分布
前面给出的静力学基本公式（2.1.12）或（2.1.13）是在惯性坐标系中重力场中由静止流
体的平衡微分方程式（2.1.6）解得的，这时质量力只有 pa z 重力，因此它适合于绝对静止流体，或相对于惯性坐标y 系处于静止状态的流体。但是，当流体相对于非惯性坐
标系处于静止状态时，（2.1.6）式的质量力中除重力外
a g x 还应包含惯性力，由此积分得到的是非惯性坐标系中的 a 压力分布公式。下面以等加速直线运动为例，讨论压力
分布。
L 如图2.1.6所示，盛有不可压缩液体的容器以等加
速度a作直线运动，坐标系oxyz固结于容器上，加速图2.1.6 匀加速运动的小车
度a与x轴方向一致。容器运动一段时间后，液体处于相对静止状态。作用于流体的质量力为
f??ai?gk（2.1.20）
因等压面和质量力垂直，所以等压面为倾斜面。 由于流体中的压力p连续分布，所以有
dp??p?xdx??p?ydy??p?zdz（2.1.21） 29
将（2.1.20）和（2.1.7）式代入上式得
dp???(adx?gdz)（2.1.22）
因液体不可压缩，??const，积分上式得
p???(ax?gz)?c
设x?z?0处压力p?p0，将其代入上式得常数c?p0，整理得
p?p0??(ax?gz)（2.1.23）
这就是流体中的压力分布。
因等压面上p?const，即dp?0，将其代入（2.1.22）式得等压面方程为
ax?gz?c1（2.1.24）
?可见等压面是一族与水平面夹角为??arctan??a??的倾斜面。 ??g?静止流体对任意曲面的作用力及力矩
有了上面的压力分布，本节讨论静止流体与物体之间的相互作用。这里没有新的概念，只是将压力沿物面积分而已。
如图2.2.1所示，设任意曲面ABCD的面积为S，n为曲面的单位外法向量。在S上任取一微元面积dS，静止流体作用在dS上的压力合力为?npdS，则流体作用在任意曲面S上的压力合力及合力矩分别为
z A S dS D p r P????npdS（2.2.1）
Sn M????(r?n)pdS（2.2.2）
SB 在直角坐标系中表示为
Px????pnxds?SC ??P??pndsyy ??Sy?（2.2.3） R ?P??pndszz???Sx ?图2.2.1 静止流体对任意曲面的作用力
Mx????p(ynz?zny)ds?S??My????p(znx?xnz)ds?（2.2.4）
S?Mz????p(xny?ynx)ds?S?其中矢径r?xi?yj?zk，法向量n?nxi?nyj?nzk；Px,Py,Pz分别为合力P在x,y,z坐
标轴上的分量，Mx,My,Mz分别为合力矩M在坐标轴上的分量。
式（2.2.1）和（2.2.2）是计算理想流体作用于任意曲面上的压力合力及合力矩的通用积分公式，对静止流体和运动流体都适用。对静止流体而言，压力分布规律由式（2.1.12）或（2.1.13）给出，运动流体的压力分布将在后续章节中讨论。下面讨论静止流体作用于平板、柱面和任意曲面上压力合力（作用力）公式。
2.2.1静止流体对平板的作用力
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