p0o ?px yC h yfy S P C dS
fy y 图2.2.2 静止液体对平板的作用力
设平板与水平面间的夹角为?，xoy坐标面与平板表面重合，坐标原点位于压力为p0的自由面上，y轴沿平板指向下，如图2.2.2所示。因平板上的压力是平行力系，故合力P与压力方向相同，指向板面。将静止流体的压力分布公式代入（2.2.1）式得合力大小为
P???(p0??h)ds?p0S????hds?p0S??sin???yds（2.2.5）
SSS其中
??SydS为平板面积S对x轴的静矩，等于面积S和平板形心C到x轴距离yc的乘积
??将上式代入（2.2.5）式得
SydS?yc?S?hc?Ssin?（2.2.6）
P?(p0??hc)?S?pc?S（2.2.7）
其中pc?p0??hc为平板形心C的绝对压力。
由（2.2.7）式可见，静止流体对平板作用力的大小等于平板形心的压力pc乘以平板的面积，作用力的方向垂直指向平板。
现在来求合力作用点f的位置，该点称为压力中心。设压力中心位于点rf?xfi?yfj，根据刚体力学中求合力作用点的原理有
rf?P?M????(r?n)pdS（2.2.8）
S将nx?0,ny?0,nz??1代入上式整理得
Pxf???xpdS??S?（2.2.9）
Pyf???ypdS?S?将p?p0??ysin?和合力P的表达式（2.2.7）代入上式得
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??xysin?)dS??xf(p0??hc)S?? 2(yp0??ysin?)dS???Syf??(p0??hc)S?其中??xdS?xc?S和??ydS?yc?S分别为平板面积S关于y轴和x轴的静矩，
SS(xp???S0??xydSS?Ixy为面积S关于x、y轴的二次矩，??y2dS?Ixx为面积S对x轴的惯性矩。
S将它们代入上式得
p0xcS??sin?Ixy?xf??(p0??yc)S??
pyS??sin?Ixx?yf?0c(p0??yc)S??利用惯性矩的平行轴定理
2?S Ixy?Icm?xcycS，Ixx?Ic?yc式中Icm为面积S对通过形心C且平行于x、y轴的轴线的二次矩，Ic为面积S对通过形心且平行于x轴的轴线的惯性矩。最后得
?Icmsin??(p0??ycsin?)S??? (2.2.10)
?Icsin??yf?yc?(p0??ycsin?)S??可见压力中心与平板的方位有关。改变方位角?，不改变作用力的大小，但压力中心f的位
xf?xc?置发生变化。
上述推导是针对平板一侧受到流体的作用力，而另一侧无任何作用而言。通常情况下，自由面上的压力p0为大气压pa，平板另一侧也受到大气压的作用。由于大气压pa?const，它作用在封闭物体表面上的合力为零，
???pndS?0，因此平板受到周围流体作用的合力只由
as液体引起，这时只要将式（2.2.7）和（2.2.10）中的p0去掉（或以表压p?p0计算），即得静
'止流体作用于平板的作用力P?和压力中心f(xf',yf')
P???hcS（2.2.11）
Icm?ycS???（2.2.12） Iyf??yc?c?ycS??比较式（2.2.10）和（2.2.12）可见，压力中心(xf,yf)、(xf?,yf?)与面积形心(xc,yc)并不
xf??xc?重合，压力中心f在形心c之下，而f在f之下，即yf'?yf?yc。
例2-1 一小船横剖面如图2.2.3所示，
F E A B D 图2.2.3
'O AB ? BC ? 1m ，CD?2m。试绘出AB、
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C BC和CD各段上的压力分布，并计算水作用在各段单位厚度上压力合力的大小及作用点。
解：各段的压力分布如图2.2.3所示。
AB段：由平板受力公式（2.2.11）和（2.2.12）得合力的大小及作用点
P'11AB?2??1?2?9.8?103?4.9?103N 3y'?yIc112ABc?y??cS212?1?3m
2?1即作用线在距自由表面
23处，垂直指向平板AB内侧。 BC段：由式（2.2.11）得合力的大小为
P'24?2BC???(1?4)?1?9.8?103?4?1.33?104N
如图所示，作BC的延长线，与自由表面交于O点，由式（2.2.12）得合力作用点
113y'BC?2?2??1.96
12(2?12)?1即作用线在距O点1.96m处，垂直指向平板BC内侧。
CD段：P'2?(1?2CD?2)?9.8?103?2?1.707?3.35?104N
作用线在CD的中点且垂直向上。
2.2.2静止流体对柱面的作用力
坐标系如图2.2.4所示，y轴平行于柱面的母线且 指向纸面外，z轴垂直向下，坐标原点O位于压力为p0的自由表面上。因沿y方向柱面各截面上的受力相同， 故下面只研究母线为单位长度的柱面受力。考虑到柱面上压力为非平行力系，利用压力的投影表示式（2.2.3）得
Px???SpnxdS???SpdSx（2.2.13）
xPz???SpnzdS???SzpdSz（2.2.14）
其中Sx和Sz分别为柱面S在yoz和xoy坐标面上的投影面积，下标x、z表示投影面的法线方向。
先考虑水平分力Px，积分（2.2.13）式得
Px???S(p0??z)dSx?p0Sx????SzdSx?p0Sx??zcSx?pcSx (2.2.15）
xx其中积分项
??SzdS对y轴的静矩，等于形心C的淹深zxx为投影面积Sxc与投影面积Sx的
乘积zcSx。可见柱面所受合力的水平分力就等于面积为Sx的竖直平板受力。
再看垂向分力Pz，积分（2.2.14）式得
Pz???S(p0??z)dSz?p0Sz????SzdSz
zz33
2.2.4 静止流
图因z是dS到自由表面的垂直距离，故积分项
??SzzdSz是以Sz为底面积，垂直向上延伸到与
自由表面所围的柱状流体体积V，称为压力体。于是
Pz?p0Sz??V（2.2.16）
可见，静止流体对柱体作用力在z轴方向的分力由两部分组成：一部分由自由表面的压力p0所引起，另一部分是由压力体内液体的重量引起，大小等于压力体流体的重量。前者的作用线通过Sz的形心，后者的作用线通过压力体V内液体的重心。
合力的大小和方向分别为
P?Px2?Pz2（2.2.17）
cos(P,x)?PxP,cos(P,z)?z（2.2.18） PP当液面上的压力为大气压，柱面另一侧也受到大气压作用时，作用力的二个分量为
p?x??zcSx??（2.2.19）
p???Vz?值得注意的是：（2.2.16）式中的压力体V是柱面与压力
为P0的自由液面间所围成的柱体体积，其有“实”，有“虚”，为清楚起见，图2.2.5绘出了两种情况下的压力体V。由图2.2.5（b）可见，此时压力体为自由面的延长线与柱面所围成的体积。
例2-2一盛水容器如图2.2.6所示，平壁AB?CD?2.5m，BC及AD为半个圆柱体，半径R?1m，高度H?3m。自由面上的压力为9.8?104P0。试分别计算水对各壁面（单位厚度）作用力的大小及作用线的位置。 解：AB壁面：
PAB?(p0??hc)?SAB
?(9.8?104?9.8?103?1)?2.5 ?2.7?105N
作用线在平壁AB的中点，指向壁面。
435CD壁面[ZL1]：PCD?(p0??hc)?SCD?(9.8?10?9.8?10?3)?2.5?3.2?10N 作用线在CD壁面的中点，指向壁面。
BC壁面：忽略AD壁面上开口的影响，AD和BC壁面的受力相同。以BC壁面为例，合力
在
水平方向的分量为
PBCx?(p0??hc)?2R?(9.8?104?9.8?103?2)?2?2.35?105N
垂直方向的分量为
11PBCz??V????R2?9.8?103??3.14?1?1.54?104N
22合力的大小为
22P?PBCx?PBCz?2.35?104N
作用线通过半圆的圆心，指向壁面。 2.2.3静止流体对任意曲面的作用力
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不失一般性，设任意三维曲面S与x,y,z三个坐标轴的平行线只有一个交点，即曲面S在三个坐标平面上的投影面积没有重叠部分。与平板和柱面受力公式的推导过程完全类似，将p?p0??h代入式（2.2.3）得静止流体对任意曲面的作用力
Px?(p0??hc)Sx?pcSx??Py?(p0??hc)Sy?pcSy?（2.2.20）
?Pz?p0Sz??V?与柱面受力不同的是，静止流体作用于任意曲面S上的合力在水平方向有二个分力Px,Py。当任意三维曲面与平行于坐标轴的直线之间的交点多于一个时，可将曲面划分为只有一个交
点的几部分，然后叠加求解。
2.2.4浮力
完全浸没在液体中的物体称为潜体，如潜艇或水下潜器；部分浸没在液体中、部分露出液面的物体称为浮体，如水面舰船。潜体或浮体受到静止液体的作用力称为浮力。
1.潜体的浮力
设潜体的体积为V，表面积为S，n为S的单位外法向量，液体的重度为?，如图2.2.7所示。将p?p0??(z0?z)代入（2.2.1）式得
P????pndS??????pdV???????p0???z0?z??dVSVV?????kV??p0???z0?z??dV??Vk?z （2.2.21）
可见，潜体只受到垂直向上的作用力，即浮力。浮力的大小等于潜体排开的液体的重量，方向垂直向上。用阿基米德的话：“物体在液体中所失去的重量等于所排开的同体积流体的重量”。浮力是压力的合力，是一种压差力。 2. 浮体的浮力
如图2.2.8所示，坐标原点取在自由液面上。设物体液面上部的体积为V1，表面积为S1，在液面下部的体积为V2，表面积为S2，物体被自由液面截出的截面积为S0。由（2.2.1）式得
z S1 V1 S0 pa γ n o V2 P?????S1?S2pndSS2S1S2????pandS???pndS????pandS???(pa??z)ndSS1S2 图2.2.8 部分浸没物体的浮力
?????在等式右端加上?S1?S2pandS????zndS????zndSS2S2 （2.2.22）
??znds。因在S上，z?0，故附加此项对等式没有影响，于是
P????zndS??????zdV??Vk （2.2.23）
S00S2?S0V22可见，浮体所受浮力的大小同样等于所排开的液体的重量，方向垂直向上。
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