0.7.2正交曲线坐标系中的弧微分和拉梅系数 我们知道，直角坐标系中任意空间曲线的弧微分ds为
ds?dx2?dy2?dz2（0.7.2）
若曲线坐标（q1,,q2,q3）和直角坐标(x,y,z)之间的函数关系为
q1?q1(x,y,z),q2?q2(x,y,z),q3?q3(x,y,z)
反过来
x?x(q1,q2,q3),y?y(q1,q2,q3),z?z(q1,q2,q3)
则
dx?dy?dz??x?x?xdq1?dq2?dq3（0.7.3a） ?q1?q2?q3?y?y?ydq1?dq2?dq3（0.7.3b） ?q1?q2?q3?z?z?zdq1?dq2?dq3（0.7.3c） ?q1?q2?q3将（0.7.3）式代入（0.7.2）式可得由曲线坐标（q1,q2,q3）表示的ds关系式。
特别地，当ds为坐标曲线q1上的微分弧长ds1时，因坐标曲线q1上只有q1变化而q2,q3不变，即dq2?dq3?0，这时式（0.7.3）简化为
dx??x?y?zdq1,dy?dq1,dz?dq1（0.7.4） ?q1?q1?q1将（0.7.4）式代入（0.7.2）式得坐标曲线q1上的微分弧长ds1
ds1?(类似地，得坐标曲线q2,q3上的微分弧长ds2,ds3为
?x2?y?z)?()2?()2dq1（0.7.5a） ?q1?q1?q1ds2?(?x2?y2?z2)?()?()dq2（0.7.5b） ?q2?q2?q2?x2?y2?z2)?()?()dq3（0.7.5c） ?q3?q3?q3dsi?hidqi，（i=1，2，3）（0.7.6）
ds3?(简写为 其中
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hi?(hi称为拉梅（G.Lam’e）系数。
?x2?y2?z2)?()?()，（i=1，2，3）（0.7.7） ?qi?qi?qi（0.7.6）式表明，坐标曲线上的微分弧长dsi一般不等于对应坐标曲线上坐标变量的微分增量dqi，两者之间差一个拉梅系数hi。例如，在柱坐标系(r,?,z)和球坐标系(R,?,?)中，拉梅系数分别为
hr?1，h??r，hz?1 hR?1，h??R，h??Rsin?
相应的有弧微分
dsr?dr,ds??rd?,dsz?dz dsR?dR,ds??Rd?,ds??Rsin?d?
ds23而在直角坐标系中，hi?1，坐标轴的弧微分等于坐标变量的微分增量。
下面讨论正交曲线坐标系中的体积元素和面积元素。过一点M处由三对坐标曲面围成的微小体积（如图0.7.2）可近似看成以
ds13ds3
Mds1
ds2 ds12ds1,ds2,ds3为棱长的长方体。从而体积元素和面积元素分别是
dV?ds1ds2ds3?h1h2h3dq1dq2dq3（0.7.8）
ds12?ds1ds2?h1h2dq1dq2??ds13?ds1ds3?h1h3dq1dq3?（0.7.9） ds23?ds2ds3?h2h3dq2dq3??图0.7.2
0.7.3 正交曲线坐标系中哈密尔顿算子、梯度、散度、旋度及调和量表示式
哈密尔顿算子?具有微分和向量双重运算性质：对位于它后面的量发生微分作用，而对其前面的量不发生微分作用，运算顺序为先微分运算后向量运算。下面给出哈密尔顿算子、梯度、散度、旋度及调和量在正交曲线坐标系中的表示式及流体力学中的常用表示式。限于篇幅，这里不作详细推导，只列出结果。
??e11?1?1?1??e2?e3?ei （0.7.10）
h1?q1h2?q2h3?q3hi?qi1??1??1???e2?e3 （0.7.11）
h1?q1h2?q2h3?q3???e112
??a?1???[(h2h3a1)?(h1h3a2)?(h1h2a3)] （0.7.12）
h1h2h3?q1?q2?q3??a??1??1??[(h3a3)?(h2a2)]e1?[(h1a1)?(h3a3)]e2h2h3?q2?q3h1h3?q3?q11??[(h2a2)?(h1a1)]e3h1h2?q1?q2（0.7.13）
?2??1?h2h3???h1h3???h1h2??[()?()?()]（0.7.14）
h1h2h3?q1h1?q1?q2h2?q2?q3h3?q3(a??)??a1??a2??a3????（0.7.15）
h1?q1h2?q2h3?q3(a??)a?[a??a1?a?ha2?h?h?h(a11?a22)?3(a11?a33)]e1h1h2?q1?q1h1h3?q3?q1a?ha1?h?h?h(a22?a11)?3(a22?a33)]e2（0.7.16） h1h2?q1?q2h2h3?q3?q2?h?ha1?ha?h(a33?a11)?2(a33?a22)]e3h1h3?q1?q3h2h3?q2?q3?[a??a2??[a??a3?习题
0-1 利用爱因斯坦求和符号证明：①????a?????a；②???a?b?????a??b； ③?b?a?a??b?a????b?；④??a?b??b??a?a??b?b?a????b?。
?V2?且a?b?v时，等式?v???v????2???v????v?成立，式中V为v的模。
??0-2 求数量场??xz?2yz在点M?2,0,?1?处沿l?2xi?xyj?3zk方向的方向导
23224数。
0-3 求数量场??x?2y?3z?xy?3x?2y?6z在点o?0,0,0?与A?1,1,1?处的梯度及
222等值面的单位法向量，哪些点上梯度为0？
0-4 求速度场v?x?y?xi??2xy?y?j通过曲面x?y?z(0?z?h)的体积流
2222??量，并说明流量通过该曲面的走向。
0-5 设a为常矢，r?xi?yj?zk为矢径，r?r，求：①???ra?；②??ra；③
2????rna，n为整数。
0-6 已知函数?沿封闭曲面S外法线的方向导数为常数C，?为S所围的空间区域，A为
S的面积。试证
??13
???????dV?CA
?0-7 若?、?为标量函数，?为封闭曲面S所围的空间区域，试证 格林第一公式
2????ds???????????dV ?????????S?格林第二公式
22???????????ds?????????dV ?????S???0，?2??0，上面两公式简化为何种形式？ 220-8 已知向量a?3yi?2zj?xyk，b?xi?4k，求???a?b?
若?和?是调和函数，即?0-9 设r?xi?yj?zk，r?r，c为常矢。求①??r；②???f?r?r?；③???f?r?c?； ④???r?f?r?c?。
0-10 矢量场a??2x?y?i??4y?x?2z?j??2y?6z?k是否为调和场？若是，求其调和 函数。
0-11 已知矢量场a?r,?,z???2rcos?er?rsin?e?，求a???及??a，其中?r,?,z?为柱 坐标。
2?b2??b2?2???0-12 证明a?r,?,z???1?cos?e?1?sin?e?cez为调和场，其中?r,?,z?为 r??r2??r2?????柱坐标。
第1章绪论
本章首先引入流体的连续性假设，然后介绍流体的流动性、粘性、可压缩性等物理性质
以及作用在流体上的力。
1.1流体力学的研究对象及意义
在一定的外界条件下，根据组成物质的分子间距离和相互作用力强弱的不同，将物质划分为固体、液体和气体，而根据物质的受力和运动特性的不同，物质又可划分为固体和流体。流体包括液体和气体。固体既能承受法向力（包括压力和拉力），又能承受切向力，在弹性范围内作用力使固体产生有限的变形，作用力消失，变形消失，固体恢复到原来的形状；流体只能承受压力，不能承受拉力，在静止流体中只要有切向力的作用，不管它多么小，在足够大的时间内流体将产生连续不断的变形。这种变形就是我们所说的流动。因此，也称能流动的物质为流体。水、空气、酒精、滑油等是常见的流体。
流体力学是力学的一个分支，属于宏观力学。它的主要任务是研究流体所遵循的宏观运
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动规律以及流体和周围物体之间的相互作用。
有些物质具有流体和固体的双重特性。例如我们熟知的沥青，块状沥青表现为固体，而经长时间载荷作用下的沥青又具有流体的特性。又如面条也有固体和流体的双重特性，我们把这类物体统称为粘弹性流体。流体力学不讨论这种具有双重性的物质，只讨论像水、空气这样的“纯粹流体”。
液体和气体虽同为流体，具有共性，但又各有特性。液体虽无一定的形状，但具有一定的体积，不易被压缩，在于气体的交界面上存在自由表面；气体既没有一定的形状，也没有一定的体积，易于被压缩，不存在自由表面。液体和气体的特性决定了各自需要研究的特殊问题。以液体为主要研究对象的力学称为水动力学（Hydrodynamics），以空气为主要研究对象的力学称为水动力学（Aerodynamics），两者结合起来统称为流体力学（Fluid Mechanics）。例如，由于液体存在自由表面，舰船在水面上航行时会引起船波，需要研究波浪问题而不计压缩性，如果舰船在汹涌起伏的水面上（波浪中）航行，还会发生摇摆和击水等现象；由于气体的易压缩性，飞机、导弹等在空中高速航行时要考虑压缩性和冲击波等问题问题。但是，如果研究距水面较远的深水问题，水面的影响可不予考虑，而研究低速流动的空气时，也可以不考虑压缩性，这时，水和空气遵循大致相同的运动规律。例如，空气中的气球和深水下的水雷，空气中的飞船和水下的水滴形潜艇等等的受力情况是类似的。
流体力学广泛应用于航空、船舶、水利、交通、石油、能源、建筑、机械、采矿、冶金、化工等各个领域。可以说，目前已很难找到一个领域与流体力学没有或多或少的联系。在船舶与海洋工程领域中，船舶与下水运载器的外形设计、稳性、操纵性、快速性、耐波性、抨击、海洋结构物的设计、海浪与海流的描述以及海洋能的开发和利用等基本问题都向流体力学提出了广泛的研究课题。在海岸与港口航道工程中，避风港湾、护岸提坝以及内河航道的设计等都需要流体力学知识。在水利工程中，大型水利枢纽、水库、水力发电站的设计和建造、洪峰预测、河流泥沙等问题都是与流体力学紧密联系在一起的。可见流体力学在人们生产和生活中占有重要的地位。就船舶与海洋工程领域而言，流体力学作为一门专业基础科学，在推动造船工程技术的发展，开发研制低消耗、高效能舰船的过程中起着非常重要的作用。
流体力学是一门古老而富有活力的学科，至今已经历了两千多年的历史。流体力学的发展演变过程大体上经历了四个阶段。
（1）静力学（Hydrostatics）：这一阶段以公元两千多年前Archimedes(B.C.278—212)关于浮力和Pascal（1623—1662）关于静水压力的研究为代表。至今还流传着Archimedes利用浮力原理解决皇冠掺银问题的故事。
（2）理想流体力学（Ideal Fluid Mechanics）：从十七世纪开始一些卓越的数学家从数学的角度出发不计流体的粘性、压缩性和表面张力研究流体的运动，形成了流体力学学科的雏形——理想流体力学（Hydrodynamics，Hydraulics），这一阶段以伯努利（Bernoulli）（1700—1782)、欧拉（Euler）(1707—1783)和Largrange的工作最具代表性。但由于忽略粘性，导致了绕流物体阻力为零的佯缪(Paradox)。
（3）流体动力学（Fluid Dynamics）：这一阶段研究的特征是理论与实验的结合。十八世纪突出的成就是由Navier、Hargen、Poiseuille、Stokes等人创立了粘性流体力学。进入十九世纪在理论研究遇到困难的情况下开始主要依赖于实验，由Reynolds、Froude、Rayleigh等人创立了相似理论，奠定了实验流体力学（Experimental Fluid Mechanics）的基础。随着Helmholyz、Thomson等人关于旋涡运动的几个实验的提出，流体力学的体系逐步趋于完善，也正是这一时期，流体力学与航空、造船等工程实际的联系更紧密了，做出重要贡献的学者还有儒可夫斯基（Joukowski）、库塔（Kutta）等人。自二十世纪初由Plandtl创立了边界层理论以及随着湍流理论的出现流体力学进入了与工程实际相结合的蓬勃发展的时期，因此Plandtl和Von Karmann也成为了近代流体力学的奠基人。在我国著名的力学家周培源、钱学森和郭永怀等也先后在近代流体力学的发展中做出过重要贡献。
（4）计算流体力学（Computational Fluid Dynamics）：进入二十世纪六十年代，电子计算机的问世为流体力学的求解提供了强有力的手段。计算机和计算数学相结合出现了流体力学的一个新的分支——计算流体力学，简称CFD。这一新分支的崛起为流体力学这一古老的
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