（1）切线方程
y?y0?f?(x0)(x?x0)
（2）法线方程： y?y0??1f??x0??x?x0?f??x0??0
x?x0f??x0??0
2、高阶导数：
(1)定义：二阶及二阶以上的导数 (2)公式：?ex??n??e ?axx??n??ax??lna? ?sinx?nn?n????sin?x??
2???cosx??n?n???1?? ?cos?x????2??x?a???n??n?1??n????1?nn!n?1?x?a?
?ln?x?a?????1??n?1?! ????n?x?a????ln???
?导数的运算法则
1、设f?x?, g?x?都可导，则（1）?f?x??g?x???f??x??g??x?； （2）?f?x?g?x???f??x?g?x??f?x?g??x???f?x??f??x?g?x??f?x?g??x? ???2??gx??gx???2、反函数的导数：设y?f?x?是x?g?y?的反函数，且y?f?x?单调可导，则x?g?y?也单调可导，且x?y??x???y?y?x?3
3、复合函数的导数：如果u???x?在点x可导，而y?f?u?在u???x?可导，则复合函数y?f???x??在点x可导，函数为
dydx?dydu?dudx
4、常见公式：
?c???0 x??????x??1? ?sinx???cosx ?cosx????sinx ?ex??ex
1x?ax??x?alna ?lnx??? ?loga??x?1xlna ?tanx???secx
2?cotx????cscx ?secx???secx?tanx ?cscx????cscx?cotx
2?arcsinx???11?x11?x22 ?arccosx???? ?x11?x2 ?arctanx???11?x2
?arccotx????
k??k??k!,
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?5、由参数方程所确定函数的导数： ??x?x?t?dyy?d2y?dy??t?， ?t?dx???y?y?t?dxx?， tdx2?x? tch3. 中值定理与导数应用（15～18） 1. 常见的泰勒展开式
nex?1?x?x2x32!?3!???xe?n!??n?1?!xn?1
35sin????2n?1???24sinx?x?xcos????n3!?x5!????2?2n?1xxn??2n?1?!x cosx?1?2!?4!????2n?!x2
?1?x???1??x?????1?2???1?????n?1?2!x????n!xn?????1????2?????n??n?1?!?1?????n?1xn?1nn?1ln?1?x??x?x22?x33?????1?n?1x1n???1?nxn?1??1???n?1 0???x
基本定理
1、单调性的判定定理：设函数y?f(x)在[a,b]上连续 在(a,b)内可导
（1）如果在(a,b)内f'(x)?0， 则f(x)在[a,b]上单调增加 （2）如果在(a,b)内f'(x)?0，则f(x)在[a,b]上单调减少
2、极值存在的必要条件：函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，则f'(x0)?0 3、第一充分条件：设f(x)在点x0的一个邻域内可导且f'(x0)?0
（1）如果当x?x0时f'(x)?0；当x?x0时f'(x)?0则f(x)在x0处取得极大值 （2）如果当x?x0时f'(x)?0，当x?x0时f'(x)?0，则f(x)在x0处取得极小值 （3）如果f(x)在x0两侧，f'(x)符号不变，
则f(x)在x0处不取极值
注：f?(x)不存在的点或f??(x)不易求的点常用此定理 4、第二充分条件：
设f(x)在x0处具有二阶导数，且f?(x0)?0 f??(x0)?0则（1）当f??(x0)?0极大值；（2）当f??(x0)?0时，f(x)取极小值。 注：1o驻点
2o二阶导函数易求
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f时，5、函数凹凸性的判定定理：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数
（1）若f??(x)?0， 则f(x)在[a,b]上是凹的 （2）若f??(x)?0，则f(x)在[a,b]上是凸的 6、曲率的计算公式： ch4 不定积分（4~8） 1、公式
k?y???1?y??23
2?x?dx?1??1x??1?c
?exdx?e?cx
?axdx?axlna?c
?sinxdx??cosx?c
11?x?cosxdx?si?tanxdx??lncosx?c?1?x?sin12
?cotxdx?lnsinx?c
?11?x2dx?arcsinx?c
?2dx??arccos12dx?arctanx?cdx??cotx?c
?secxdx12?ln?secx?tanx??c
?cscxdx??ln?cscx?cotx
?cosxdx?tanx?c
2、性质
（1）?kf(x)dx?k?f(x)dx （2）??f(x)?g(x)?dx?3、换元积分法
（1）第一换元（凑微分）?f(x)dx??h?g(x)?g?(x)dx?F?g(x)??c 注1、 2、 3、
?f(x)dx??g(x)dx
???f(ax?b)dx?f(axf(aen1a?f(ax?b)d(ax?b) 1an?b)xn?1dx?1?f(axxn?b)d(axxn?b)
x?b)edx?x?af(ae?b)d(ae?b)
4、?f(lnx)dx?x1?f(lnx)dlnx
5、?f(sinx)cosxdx??f(sinx)dsinx
6、 7、 8、 9、
???f(arcsinx)1cos2dx1?x2??f(arcsinx)darcsinx
f(tanx)f(arctanx)x1dx??f(tanx)dtanx
1?x2dx??f(arctanx)darctanx
?f(1?x)2x1?x2dx??f(1?x)d1?x22 - 8 -
10、?f(?b)xa1x2dx??1a?f(ax?b)d(ax?b)
(2) 第二换元积分法 被积函数含
01
?f(x)dxx?g(t)?f[g(t)]?g?(t)dt?F(t)?c
a?x22???x?asintx?atantx?asect(x?acost)； (x?acott)； (x?acsct)
2202 a?x30
x?a224、分部积分法 ?uv?dx?uv??vu?dx
注：（1）运用分部积分法，关键是适当选取u和v?
其原则：10 v??易求???v
?20?vu?dx比?uv?dx易求
； ?Pn(x)cosxdx?
Pn(x)?u（2）?Pn(x)exdx
Pn(x)?u；
?Pn(x)ln(ax?b)dx?Pn(x)?v?；
?P(x)arcsinxdxn?Pn(x)?v?
在计算不定积分时，三角函数为被积函数尽量用sinx、cosx表示 sin??sin??2sin???2cos???2；
sin??sin??2cos???2sin???2；
cos??cos??2cos
cosx?cos122???2x2cos???2；cos??cos???2sin12???2sin???2；
x2?sin2；
sin?cos??[sin(???)?sin(???)]12；
cos?cos??[cos(???)?cos(???)]；sin?sin??[cos(???)?cos(???)]CH5定积分（15~18）
定积分的性质
1、被积函数代数和的定积分等于定积分的代数和； 2、被积函数的非零常数因子可以提到积分号外；
3、定积分具有区间可加性；4、如果f(x)?g(x)，则?f(x)dx?ab?bag(x)dx;
5、如果f(x)在?a,b?上连续，且m,M分别为其最小值、最大值， 则m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a)； 6、??baf?x???baf(x)dx??baf?x?dx；
b7、定积分中值定理：如果f(x)在?a,b?上连续，则在?a,b?内至少存在一点?，使?f(x)dx?f???(b?a)；
a8、设f(x)在?a,b?上连续，g(x)在?a,b?上可积且不变号，则至少存在一点???a,b??
baf(x)g(x)dx?f????g(x)dx；
ab- 9 -
9、设f(x)在?a,b?上连续，g(x)在?a,b?连续可导，且g'(x)?0， 则必存在???a,b?，使?f(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx。
aab?b?定积分的换元积分法和分部积分法 1、可变限函数求导：
如果f(x)在相应区间上连续，h(x),g(x)可导，
g(x)则??f(t)dt??f?g(x)??g'(x)?f?h(x)?h'(x)。 ???h(x)?'注：连续函数一定存在原函数 如f(t)连续，则?f(t)dt即为其原函数
ax2、牛顿—莱布尼兹公式
如果函数F(x)是连续函数f(x)在?a,b?上的一个原函数， 则：?f(x)dx?F(b)?F(a)
ab注：此公式说明要求定积分两步：（1）求原函数； （2）代公式 3、换元积分法
如果函数f(x)在区间?a,b?上连续，函数x?q(t)满足：
（1）q????a q????b；（2）q(t)在??，??或??，??上具有单调连续导数且其值域??a,b??baf(x)dx???f?q?t???q'?t?dt
?注：（1）定积分的换元积分法换元必换限，换后接着算。下限对应下限，上限对应上限 （2）条件，单调可导 4、分部积分法
?bau(x)v?(x)dx?u(x)v(x)ba??bav(x)u'(x)dx
注：边运算边代值
（四）常用公式 1、?a?af(x)dx???0a0??f(x)?f(?x)?dx??a2f(t)dt???0f(x)为奇函数f(x)为偶函数
2、如果f(x)为周期为T的周期函数， 则?a?Taf(x)dx??TT0f(x)dx??2T?2f(t)dt，
?a?nTaf(t)dt?n?f(t)dt
0T3、?2f(sinx,cosx)dx?0???20f(cosx,sinx)dx 4、?xf?sinx?dx?0??2??0f(sinx)dx
dx?2?2f(sinx)dx 5、?f（sinx）00?? - 10 -