其步骤：(1)确定分段点，并求其左、右极限； (2)由连续定义 列方程解之 17、讨论函数的连续性
注：1o初等函数在其定义域内都连续 2o对分段函数，重点讨论分段点
18、求函数的间断点及其类型，
其步骤（1）求出使函数无定义的点及分段函数的分段点 （2）讨论上述各点的左、右极限 （3）结论
19、证明含?的函数等式（方程解的问题）（介值定理）
其一般步骤（1）将?用x代替构造函数 （2）求f(x)在[a,b]上的最大、小值
(3) 介值定理
1、利用导数定义求导数
注：1o分段函数分段点的可导性，必用定义 2o函数不具体必用定义 2导数的几何意义 3、已知可导性求待定常数 4、求高阶导数
(1)化简整理：有理函数分解成部分分式和,利用
1ax?b求导；
三角函数利用积化和差化为sin(ax?b))或cos(ax?b)
(2)利用求导公式，求导法则求（也可利用前几阶导数总结规律，利用归纳法求导） 5、求复合函数的导数 6、求反函数的导数
7、隐函数求导的一般步骤：
（1） 由要求的结果确定函数关系（2）等式两端关于自变量求导，因变量看作自变量的复 （2） 合函数（3）解方程
?dy???2??x?x?t?dy?dx?tyt?dy?8、参数求导法：? ?2?dxxt?y?ytdxx???t??
9、微分：
1关于定理、条件及等式方程根的问题（零点定理，积分利用罗尔定理） 2、等式证明
其一般步骤:（1）构造函数f(x) (将等式一端移到另一端定义函数) （2）求f(x)?0 （3）结论 3、不等式的证明
函数值的改变量f?b??f?a?的不等式证明常用中值定理
'4、证明含?的函数导数的等式 其一般步骤
（1）由条件和结论（将结论中的?用x代替）构造函数
- 26 -
（2）利用罗尔定理 （3）整理，得结论 f????g????f???h????0?
1??F?x??f?x?L?x?F?a??F?b?结构
25、证明含?,?的函数导数等式
此类题的思路（1）构造函数（2）运用两次中值定理 注：将含?和?的分别整理到一起 6、求单调区间、极值其一般步骤
（1）求出f?(x)?0的点和f?(x)不存在的点
（2）这些点将定义区间分成许多小区间，在各小区间上讨论f?(x)符号给出单调区间 （3）由第一充分条件给出极值点的结论
对于f??(x)存在的驻点
由第二条件给出结论
7、利用函数单调性证明不等式 其一般步骤 （1）整理
并将不等式一端移到另一端构造函数
（2）讨论单调性、极值、最大、小值 （3）结论
特点：函数端点值或极限值为0 8、求最大、小值
（1）确定函数并求出f'(x)?0的点和f'(x)不存在的点 （2）比较区间内上述各点与区间端点函数值的大小 （1） 结论 9讨论方程根的个数
（1）利用介值定理讨论根的存在性 （2）利用单调性讨论根的个数
（3）注意奇偶性、周期性、有界性 其步骤为：
(1) 求出定义域及f?(x)?0和f?(x)不存在的点
(2) 这些点将定义区间分成许多小区间，求各区间端点的函数值或极限值 (3) 由介值定理给出结论 10判断函数凹凸性及拐点
其一般步骤
（1）求出f??(x)?0的点和f??(x)不存在的点
（2）这些点将定义区间分成许多小区间在各小区间上讨论f??(x)符号 （3）结论
n11利用凹凸性证明不等式
?i?0且??i?1
i?1 - 27 -
（1） 如f???x??0 凹 f(?1x1??2x2???nxn)??1f(x1)??2f(x2)???nf(xn)
f???x??0 凸 f(?1x1??2x2???nxn)??1f(x1)??2f(x2)???nf(xn)
（2） 函数值的平均数结构与自变量的加权平均值之间 12关于高阶导数的命题 （利用泰勒展开式） 注：(1)只要牵扯到高阶导数必考虑利用泰勒展开式
(2)一般在f(n)(x)?0的展开或端点或任意点x
(3)多个函数和商的极限 13求曲线的渐近线
其步骤
（1）求出使函数无定义的点xi
??判断limf(x)??
x?xi?
x?xilim?f(x)??是否存在
（2）判断limf(x)?c是否存在
x???x???（3）考察 函数作图
x???x???limf?x?x?a?0
x???x???lim[f(x)?ax]是否都存在
其一般步骤
（1）求出定义域 并讨论f(x)的奇偶性、周期性、有界性
（2）求出f??x??0的点和f??x?不存在的点，这些点将定义区间分成许多小区间，在各小区间上讨论
f??x?符号，得出单调性
（3）求出f???x??0的点和f???x?不存在的点，这些点将定义区间分成许多小区间，在各小区间上讨论
f???x?符号，给出凹凸的结论
（4）求出f(x)的渐近线 （5）找几个特殊点 画出草图 1、计算定积分其步骤：
（1）确定区间的对称性及被积函数的奇偶性、周期性.
（2）运用定积分的性质及换元积分法和分部积分法进行计算. 2、变上限求导问题一般步骤：
（1）作代换并化简整理; （2）能提出先提出;（3）运用求导法则. 3定积分等式证明
(1)考虑换元积分，根据被积函数的结构特点和积分区间及题目条件确定代换； (2)分部积分
4、积分不等式的证明： 常用方法：
(1) 考虑被积函数的最大、小值，然后利用估值定理； (2) 对被积函数作适当放大，缩小然后运用估值定理；
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(3) 运用积分中值定理及柯西公式。 重点：（1）中值定理 （2）积分公式
注：函数与导数的关系（1）中值定理 （2）积分公式 9、广义积分 求广义积分的步骤
（1）确定类型（无穷，无界）（2）求定积分 ?3?求极限 10判定广义积分敛散性（多项式商式） 1 ○
???af?x?dx
a、确定f?x?的分母分子中x的最高次数差p
b、由p与1的关系给出结论：p?1收敛，p?1发散
2○?f?x?dx x?a为无穷间
aba、确定f?x?的分母分子中x?a的最低次数的差p；
b、由p与1的关系给出结论：p?1收敛，p?1发散
limxf?x?存在，p?1； lim?x?a?px??x?apf?x?存在，P?1收敛.
2、求曲面方程： 其步骤为：
（1）在曲面上任取一点?x,y,z?；（2）由此点所满足的条件建立方程 3、求平面方程
（1）Ax?By?cz?D?0； （2）平面束； （3）过特殊轴 4、求偏导数（各阶）
（1）将其它变量看作常数，则多元函数看作一元函数； （2）按一元函数求导法则处理。
'注：(A) fx?x0,y0? fxi(i)?x0,y0?可对f?x,y?代y'?y0；
(B) fxy?x0,y0?不能先代值，但求出fx后可代x?x0；
''(C) 分段函数在分段点的偏导数必用定义。
5求多元复合函数偏导数
（1）弄清复合关系 ?2?代公式
7、隐函数求导
（1）由要求的结果确定函数关系；
（2）方程两端关于相应自变量求偏导数，因变量看作自变量的复合函数 注：在求偏导数时，可先代值再计算。 8、偏导数的应用
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（1）求曲线的切线和法平面： 1 确定曲线方程的表达形式；○2 代公式 ○
9、求多元函数的极值
（1）求f?x,y?的极值的步骤： 1 求○
?f?x?0，
?f?y?0的点；
2 求A?○
?f?x22， B??f?x?y2， c??f?y22：
(A)：B?AC?0 A?0?C?0?极大值， A?0?C?0?极小值；
2(B)：B?AC?0 不取极值
2（2）求u?f?x,y,z?在条件??x,y,z??0 ，??x,y,z??0下的极值： 1 构造L?f?x,y,z?????x,y,z?????x,y,z?； ○
?Lx?0?Ly?0??2 ?Lz?0，解出x,y,z； ○
???0?????03 结论 ○
10、求方向导数和梯度 ?u?l??u?xcos???u?ycos???u?zcosr， gradu??u?xi??u?yj??u?zk
2、二重积分的计算：
1 画出积分域草图，并确定其对称性和被积函数的奇偶性； ○
2 将积分区域用相应不等式组表达； ○
3 将重积分化成累次积分。 ○
3、交换积分次序：其原则：
(1) 画出积分区域；
(2) 将区域往另一轴（面）投影，并在区域内任取一点，作垂直于此轴（面）的直线； (3) 用不等式表示
4、三重积分的计算
（1）积分域为球体或球体部分用球坐标；投影域为圆域用柱坐标； （2）旋转体（先二合一）。
5、应用（分清题意，画出草图，写出积分表达式）
求曲面面积的一般步骤：
（1）确定是哪个曲面并确定曲面在哪个坐标面上投影规则，定出曲面方程； （2）套公式
1、对弧长的曲线积分的计算
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