（1）确定曲线方程的表达形式及曲线的对称性和被积函数的奇偶性； （2）能代入的先代入；
（3）代相应公式
1 积分下限必小于积分上限； ○2 对弧长的曲线积分与方向无关 注：○
3、求坐标的曲线积分，其一般步骤： （1）判定
?Q?x??P?y 满足条件，选特殊路径；
（2）弄清曲线的表达形式，并确定起点、终点及相应坐标； （3）能代入先代入，然后代入公式求解。
注：① 对称性、奇偶性不能用； ② 与方向有关；
③ 曲线较复杂，但趋势区域规则，常采用加一减一方式，运用格林公式。 4、曲线积分与路径无关的条件 5、求对面积的曲面积分 其步骤为：
（1）弄清曲面及其对称性（确定曲面在哪个坐标面上投影规则），定出函数关系及被积函数的奇偶性； （2）能代入先代入； （3）代公式计算
7、对坐标的曲面积分的计算，其一般步骤：
（1）确定曲面在各个坐标面上的投影及曲面的方向；
（2）由曲面的法向量与相应坐标轴正向夹角的状态确定正负号；
（3）能代入的先代入； （4）计算二重积分
1如果曲面是闭曲面考虑运用高斯公式； 注：○
2曲面较复杂，但其趋势区域规则，可采用加一减一方式，运用高斯公式。 ○1、判断级数?un的敛散性
（1）判定limun?0， 不等于0发散；
n???（2）判断?un是否为正项级数，是， 按正项级数审敛法；
n?1（3）?un收敛，绝对收敛； （4）交错级数审敛法及运用性质讨论
注：un 不具体一般用定义性质讨论
对于正项级数?un的敛散性，常用台勒展开及等价无穷小代换讨论 3、求函数项级数?un?x?的收敛区间、收敛域、收敛半径，
n?1?其一般步骤为： （1）由limun?1?x?un?x??p?x??1，解出x的取值范围 (a,b)；
n??（2）讨论在端点的敛散性；
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（3）给出结论。
注：函数不具体一般考虑阿贝尔引理 4、求数项级数的和，其步骤为： （1）构造幂级数，求出其收敛域；
（2）利用幂级数的分析运算性质，求出幂级数的和函数； （3）代值计算 注：①
n?f?n?整理逐项求导，n?n?1?；②?f?n?x整理逐项积分，?nxxnxnn?1
5、将函数f(x)展开成x?x0的幂级数的一般步骤： （1）作代换f?x??x?x0?uf?x0?u??g?u?；
（2）利用求导、积分、代换整理化简将g?u?展开为u的幂级数； (3) 将u?x?x0代入即得 6、求f?i??x0?，其步骤：
（1）求f?x?关于x?x0的幂级数展开式； （2）由?x?x0?的系数，ai?if?i??x0?i!得f?i??x0?
7、函数的付立叶级数展开，其步骤： （1）判定f(x)的周期性、奇偶性；（2）计算付立叶系数a0、an、bn； （3）写出付立叶级数，并由狄利克雷定理写出其和函数s(x)； （1） 如要求某个数项级数的和，则在s(x)中令x取某个特殊值。 1、一阶微分方程，其步骤： （1）确定类型（代换整理）； （2）代公式求解 注：含f?x?y?、f??y??、fx???x?22????、fxy、fx?y一般都可通过变量代换化为基本 ??y????1 可分离变量：形式，具体为：○
dydx?f?x?g?y?，则?f?x?dx； ?g?y??dy2 齐次方程：○
dyy?y??Q??，u?转化为可分离变量，
xdx?x?dudx?Q?u??u? 令u?yx，则x?duQ?u??u?dxx；
?p?x?dx??p?x?dxdx?c?3一阶线性微分方程：y'?p(x)y?Q?x?，公式：y?e???Qxe○； ????? - 32 -
4 贝努利方程：y'?p(x)y?Q?x?yn?n?0,1?， ○
令y1?n?u，则
dudx??1?n?p?x?u??1?n?Q?x?；
5 全微分方程：pdx?Qdy?0，满足○
通解：?p?x,y0?dx?x0xyy0?Q?x??p?y，则为全微分方程，
?Q?x,y?dy?C
2、可降阶的高阶微分方程，其步骤： （1）确定类型
（2）代相应公式求解（注：在求特解时，应边运算边代值） 4、求二阶常系数线性微分方程的通解，其步骤：
?1?求y''?py'?qy?0的通解Y
A:由r2?pr?q?0，求r1,r2 B:由r1,r2的不同情况，写出通解
1 r1,r2不等实根，通解y?c1erx?c2erx； ○2 r1?r2 y??c1?c2x?erx； ○
1213 r1?a?bi r2?a?bi y?eax?c1cosbx?c2sinbx? ○
ax（2）求y''?py'?qy?pn?x?e的特解y?
由a与r2?pr?q?0的根的关系设出特解形式
1a不是根 设y??Qn?x?eax ○2a是单根 设y??xQn?x?eax ○
3a是重根 设y??x2Qn?x?eax ○
（3）求y???py??qy?pn?x?eaxcosbx的特解
ax①a?bi不是根，设特解(Qn?x?cosbx?Rn?x?sinbx)e ②a?bi是根，设特解x(Qn?x?cosbx?Rn?x?sinbx)e
ax?3?代入定出特解y?，写出通解Y
?y
? - 33 -