0??则：??f?x,y?dxdy??2??f?x,y?dxdyD??D1DDf?x,y???f?y,x?f?x,y??f?y,x?
（6）??f?x?dxdy???f?y?dxdy D中x,y地位同
???f?x?dv????f?y?dv????f?z?dv??? ?中x,y,z地位同
2、二重积分的计算：
a?x?b? （1）如D:?， 则 ??f?x,y?dxdy?D????yx?y?yx2?1?badx?y2y1f?x,y?dy
（2）D:????????r1????r?r2???， 则 ??f?x,y?dxdy?D???d??r2????r2??f?rcos?,rsin??rdr
3、三重积分的计算 （1）
a?x?b???:?y1?x??y?y2?x??zx,y?z?zx,y??2??1?，则???f?x,y,z?dv???badx?y2?x?y1?x?dy?z2?x,y?z1?x,y?f?x,y,z?dz（2）
????????:?r1????r?r2????zr,??z?zr,??2??1?，则???f?x,y,z?dv??????d??r2??r1????rdr?z2?r,?z1?r,???fdz
????????（3）?:?r1??????r2??????r1??,???r?r2??,??，则???fdv?????d??r2??r1????d??r2??,??r1??,??f?rsin?dr
24、体积公式：V???f?x,y?dxdy????dv
D?5、曲面面积：（1）曲面?的方程为：z?z?x,y?，S???1?zx2?zy2dxdy；
Dxy22?xzdydz； （2）曲面?的方程为：x?x?y,z?， S???1?xyDyz（3）曲面?的方程为：y?y?x,z?，S???1?yx2?yz2dxdz。
Dxz6、质量：（1）M?????x,y?dxdy； （2）M??????x,y,z?dv
D?7、重心坐标：（1）平面薄板：x????x??x,y,z?dv???x??x,y?dxdyD????x,y?dxdyD?， y???y??x,y?dxdyD???dxdyD；
（2）立体：x?????dv?， K????K??x,y,z?dv????dv? (注意步调一致)
8、转动惯量：（1）平面薄板：I0????x2?y2???x,y?dxdy， Ix???y2??x,y?dxdy，
DD - 16 -
Iy???x??x,y?dxdy2D；
，
2（2）立体：Ix?????y2?z2???x,y,z?dv?Iy????x?z??22???x,y,z?dv，
Iz????x?y??22???x,y,z?dv，I0????x?y?z??22???x,y,z?dxdydz。
9、引力：质量为m的质点位于p0?x0,y0,z0?处，物体占有空间域?，其密度为??x,y,z?，设物体对质点引力为：?Fx,Fy,Fz?, 则：Fx?km?????x,y,z?x?x0km?????x,y,z?y?y0?r3dxdydz， Fy??r3dxdydzF22z?km?????x,y,z?z?z0?r3dv， r??x?x0???y?y0???z?z20?
线性代数
1、利用行列式定义的计算证明问题
注：（1）取自不同行不同列的n个元素的乘积； （2）n!项 2、关于代数余子式的计算证明
注：（1）余子式与代数余子式的定义。（2）A*ij?A对应关系
3、行列式的计算，其步骤：
（1）观察行列式的结构特点，注意高、低阶。 利用性质，化简整理。 （2）代公式。
常用方法：○
1 利用性质化为阶梯形；○2 按行列展开，常用在零比较多的情况； ○
3 递推法； ○4 定义 1、 矩阵的运算：
2、矩阵的逆的计算、证明 （1）用初等变换求逆矩阵：
?AE???初等行变换????EB? (B?A?1)；??A?初等列变换?E??1E???????B? (B?A)
????（2）利用分块矩阵求矩阵的逆 （3）利用伴随矩阵求矩阵的逆：A?1?1AA*
○
1 只适用于阶数比较低的矩阵 ○2 代数余子式 （4） 用逆矩阵定义求逆矩阵 3、求矩阵方程：
解矩阵方程：已知f?A,B,C??0 求A的一般步骤：
○
1 化简整理：Ag?B,C??h?B,C? ○2 利用矩阵的运算求出结果 4、求矩阵的秩：
- 17 -
，（1）利用初等变换将矩阵化为阶梯形,非零行向量的个数即为矩阵的秩 （2）利用矩阵秩的定义通过逐阶考查子行列式的值而得到矩阵的秩。 1、向量组线性相关性的命题：
判断向量组?1,?2?,?n的线性相关性的方法主要有：
（1）向量的个数维数相等，用行列式来判断，行列式为0，相关否则无关； （2）个数与维数不等：
1 个数 > 维数： 相关； ○2 个数 < 维数 ： ○
A
、用定义：
由k1?1?k2?2???kn?n?0判断是否存在不全为 0的数 k1k2?kn使此式成立；
B、根据性质；
C、用向量组与矩阵的秩的关系
2、求向量组的秩及极大无关组
求向量组的秩及极大无关组的一般步骤：
（1）由向量组写出矩阵
（2）对矩阵施行初等行（列）变换，使之变成阶梯阵 （3）结论。
判定?1??r与?1??s等价问题的步骤： （1）n维向量?1??n与n维向量?1??n
?1??n?0,?1??n?0,?1??n?0 则等价 ?1??n?0 则不等价
?1??n?0,（2）?1??n,（3）?1??n,?1??n?0 判定?1??n和?1??n是否能互相线性表示 ?1??m?m?n?， 若?1??n?0，则不等价 ?1??m?m?n?
r??1??m??n 则等价 r??1??m??n 则不等价
?1??n?0,?1??n?0,?1??n?0，判定?1??n,?1??m是否能互相线性表出
（4）n维向量?1??s与?1??m
判定?1??s和?1??m是否能互相线性表示 1、讨论齐次线性方程组解的问题： （1）求通解；
（2）已知解的情况，求待定系数，步骤如下：
① 先对系数矩阵A作初等行变换，得到一个阶梯形矩阵，并写出对应的同解方程组（只能做行变换）；
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② 确定自由未知量（其个数s?n?r）?xr?1,xr?2,?,xn?；
③ 自由未知量取s组线性无关的值?0,0,?1,0?0?，得到方程组s组线性无关的解?i??x1i,x2i?xri0,0?1?0?，构成了方程组的一个基础解系，则通解为??k1?1?k2?2???kn?r?n?r
2、讨论非齐次线性方程组解的问题： （1）求通解
（2）已知解的情况，求待定常数
① 对增广矩阵做初等行变换，得到一个阶梯阵，并写出一个对应的同解方程组 ② 利用阶梯阵，求出r(A)和r(A)，给出有解、无解的结论
A、rankA?rankA 无解 B、rankA?rankA 有解
（1）rankA?rankA?n 有唯一解，由下到上逐步求解 （2）rankA?rankA?n 有无穷多解 ① 求出齐次的基础解系
② 求出一特解：对同解方程组令自由未知量全为零边得特解 ③ 写出通解
（aij)的特征值和特征向量的一般步骤： 1、求n阶方阵A?（1）计算A的特征多项式：f(?)?A??E；（2）由A??E?0，求出A的特征值；
??s， （3）对每个特征值?0，求出?A??0E?x?0的基础解系?1、?2、则 k1?1?k2?2???ks?s是对应于?0的全部特征向量 注：A不具体必用定义或通过其相似矩阵求解 2、将n阶矩阵A相似对角化的一般步骤： （1）求出矩阵A的特征值?1,?2??j;
（2）若?i是A的k重特征值，判定r(A??iE)是否等于n?k。不等于n?k，则不可相似对角化；否则
??k，令P???1，?2，??n? 可相似对角化；求出对应于?i的线性无关的特征向量?1，?2，（3）如求正交阵则按施密特正交化法将其正交化，再单位化；
（4）以n个正交规范化后的特征向量为列向量构成矩阵P，此 即为所求的正交矩阵P?1AP?? 注：(A)P的第i列即为?的第i个主对角线元素?i对应的特征向量的单位化向量
(B) 实对称矩阵A一定可相似对角化
2、判定n阶实对称矩阵A正定的方法为：
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（1）A的正惯性指数等于n； （2）存在n阶实可逆矩阵C，使A?CTC； （3）A的顺序主子式全部大于0； （4）A的特征值全为正数； （5）A~E； （6）对任意非零向量x，xTAx?0 3、化二次型为标准形
(A)、将二次型化为标准型的方法：配方法，初等变换法，正交变换法 (B)、正交变换法化二次型为标准形的一般步骤：
（1）写出二次型的矩阵形式，注意非平方项xixj的系数应取其一半作aij； （2）求二次型矩阵的特征值和特征向量；
（3）把特征向量正交规范化写出正交矩阵P及正交变换； （4）写出二次型的标准形
（C）、用配方法将二次型化为标准形的一般步骤：
（1）选出二次型中含有平方项的变量，为了说明方便，令其为x1,x2,?xn； （2）集中含x1的乘积项，对其配方；
（3）在剩下的项中，集中含x2的乘积项，对其配方； （4）重复上述步骤，直到xn； （5）作线性变换，即可得标准型；
注：单根仅有一个特征向量，k重根有k个必进行施密特正交.
概率论 1、古典概率的计算，其一般步骤
（1）将相关事件字母化 （2）用数学式子将要求结果表达出来 （3）运用公式、定义、性质计算 2、关于概率的性质及事件的运算命题
注：（1）条件； （2）P(A,B)?P(A,B)； （3）公式。 4、条件概率
注：（1）条件； （2）公式P(B|A)?6、全概率公式
注：（1）完备事件组；（2）公式 7、贝叶斯公式（后验概率公式） 8、独立性及贝努里概型
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P(AB)P(A)。