b6、积分不等式 ??f(x)g(x)dx?????a?2?ba22f(x)dx?g(x)dx 平方的积分结构
ab定积分的应用 1、平面图形面积：
(1)s??baf(x)dx； (2)s?1?2??rd?2； (3)s??baf(x)?g(x)dx；
2、旋转体的体积：
Vx???f(x)dx； Vy?2??xf(x)dx； S?2??f(x)1?f(x)dx；
22aaabbbr?r??? ?????； V?2?3???r???sin?d?3；
3、平面曲线的弧长：
（1）y?f(x) a?x?b l?（2）r?r??? ????? l?（3）??x?x(t)?ba1?f'(x)dx； r?r'd?； x'?y'dt；
22222????y?y(t)??t?? l???A?（六）广义积分 （1）无穷区间 （2）无界函数
?????f(x)dx?limf(t)dt?lim?A?aA???bAaf(t)dt；
ba?f(t)dt
Ch6空间解析几何(2~6)
设a??ax,ay,az?，b??bx,by,bz?， 则 （1）a?ax?ay?az222；（2）a?b?axbx?ayby?azbz；
；（4）
axaybycyprjab?a?bb（3）cos?a,b??ijaybyaxbx?ayby?azbzax?ay?azkazbz222bx?by?bz222；
azbzcz（5）a?b?axbx； （6）?a?b??c?bxcx
2、几何意义：
（1）a?b表示以a、b为邻边的平行四边形面积；
（2）a?b?c从几何上表示以a、b、c为棱的平行六面体的体积； （3）a//b?axbx?ayby?azbz； （4）a?b?axbx?ayby?azbz?0
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（2）旋转曲面：平面曲线???f?x,y??0z?0绕x轴，fx,?y2?z2?0；
??3、平面及其方程：
（1）平面的点法式方程：
过M0?x0,y0,z0?点法向量为?A、B、C?的方程：A?x?x0??B?y?y0??C?z?z0??0 平面的一般方程：Ax?By?Cz?D?0， 截距式方程：
xa?yb?zc?1
（2）点到平面的距离：
点M0?x0,y0,z0?到平面Ax?By?Cz?D?0的距离：d?（3）两平面的夹角：
设?1:A1x?B1y?C1z?D1?0， ?2:A2x?B2y?C2z?D2?0， 若?1,?2之间的夹角为?，则cos??A1A2B1B2C1C2Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222
A1A2?B1B2?C1C2A?B?C212121A?B?C222222，
?1//?2???，?1??2?A1A2?B1B2?C1C2?0
4、空间直线及其方程
（1）直线的点向式（对称式）方程：
过M0?x0,y0,z0?点方向向量为?m,n,p?的直线方程：
?A1x?B1y?C1z?D1?0; （2）一般方程： l:?Ax?By?Cz?D?0?2222x?x0m?y?y0n?z?z0p
（3）两直线的夹角： 设?1：x?x1m1?y?y1n1?z?z1p1，l2:x?x2m2?y?y2n2?z?z2p2，
若l1与l2之间的夹角为?，则cos??m1m2n1n2p1p2m1m2?n1n2?p1p2m?n?p212121m?n?p222222，
l1//l2???， l1?l2?m1m2?n1n2?p1p2?0，
l1,l2异面?s1?s2?M1M2?0；
（4）直线与平面的夹角：
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设直线L:x?x0m?y?y0n?z?z0p与平面Ax?By?Cz?D?0的夹角?，
则sin??Am?Bn?CpA?B?C222m?n?p222；
y?y0nz?z0p（5）点M0?x0,y0,z0?到直线l:x?x0m??的距离：d?s?M0M1S；
?A1x?B1y?C1z?D1?0的平面束方程为： （6）平面束：过直线l:?Ax?By?Cz?D?0222?2??A1x?B1y?C1z?D1????A2x?B2y?C2z?D2??0
CH7多元函数微分学（8~14）
1、复合函数微分法： （1）
如果z?f?u1,u2,?uk?在对应点?u1,u2,?uk?处可微，且ui?x1,x2?xl?的偏导数
?ui?xj?j?1,2?l?都存
则复合函数z?f??u1?x1,x2?xl???u2???uk?x1x2?xl???在?x1?xl?点对xj的偏导数存在
?z?xj??z?u1?u1?xj??z?u2?u2?xj????z?uk??uk?xj?j?1,2?l?；
（2）
设z?f?u，v?具有连续偏导数，u???x,y?,v???x,y?也具有连续偏导数，则复合
z?f????,x,??y?,xy?x,y?处的全微分为：dz????在点
?z?udu??z?vdv；
（3） 全微分的运算公式：
1d?u?v??du?dv； ○2d?cu??cdu (c为常数) ； ○
u?vdu?udv3d?uv??udv?vdu； ○4d?5df?u??f'?u?du。 ○； ○???2?v?v2、空间曲线的切线与法平面：
（1）曲线L：x?x(t),y?y(t),z?z(t)，其中x(t)，y(t)，z(t)都是可导函数，且x'?t?,y'?t?,z'?t?不全为0，
线方程为：
x?x0x'?t0??y?y0y'?t0??z?z0z'?t0?，
法平面方程为：x'?t0??x?x0??y'?t0??y?y0??z'?t0??z?z0??0； （2）曲线L：y?y?x?,z?z?x?
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切线方程为：
x?x01?y?y0y'?x??z?z0z'?x0?，
法平面方程为：x?x0?y'?x0??y?y0??z'(x0)?z?z0??0； （3）曲线L：??F?x,y,z??0?G?x,y,z??0?y?y?x?,z?z?x?
切线方程为：
x?x01?y?y0y'?x0??z?z0z'?x0?，
法平面方程为：x?x0?y'?x0??y?y0??z'?x0??z?z0??0 3、空间曲面的切平面与法线： （1）曲面方程：F(x,y,z)?0
切平面方程为：Fx?x0,y0,z0??x?x0??Fyy?y0?Fz?z?z0??0， 法线方程为：
x?x0Fx?y?y0Fy?z?z0Fz??，
??法线的方向余弦为：?cos?,cos?,cosr??????FxF?F?F2x2y2z,FyF?F?F2x2y2z,???222Fx?Fy?Fz??Fz；
（2）曲面方程：z?f?x,y?， F?x,y,z??f(x,y)?z
则切平面方程为：fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0， 法线方程为：
x?x0fx?y?y0fy?z?z0?1
4、极值存在的必要条件：如果函数z?f?x,y?在点?x0,y0?取得极值，且fx?x0,y0?,fy?x0,y0?都存在，则
fx?x0,y0??0，fy?x0,y0??0，
?fx?x,y??0满足?的点（驻点）：可能极值点，包括驻点和偏导数不存在的点
??fx,y?0?y注：f?x,y?在D内为常数 ? 5、极值的充分条件：
?f?x??f?y?0
设函数z?f?x,y?在点?x0,y0?的某一邻域内具有二阶连续偏导数，且fx?x0,y0??0,fy?x0,y0??0，
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A?fxx?x0,y0?,B?fxy?x0,y0?,C?fyy?x0,y0?：
（1）如B2?AC?0，则f?x0,y0?为f?x,y?的极值，A?0极大，A?0极小； （2）如B2?AC?0，不是极值； （3）如B2?AC?0，不确定。 （2）梯度：设u?u?x,y,z?，则gradu?注：梯度方向即为变化率最大的方向
?u?xi??u?yj??u?zk
（3）方向导数计算公式：如果函数z?f?x,y?在点p?x,y?可微，则函数f?x,y?在点p?x,y?处沿任一方向L向导数存在，且
?z?L??z?xcos???z?ycos?,其中cos?、cos?是L的方向余弦。
u?u?x,y,z?沿L方向的方向导数为：
?u?L??u?xcos???u?ycos???u?zcos?；
（4）梯度的性质：
① grad?u?v??gradu?gradv； ② grad?uv??vgradu?ugradv； ③ grad????v??u?vgradu?ugradvv2
CH8重积分（6~10）
1、公式：
（1）如果z?f?x,y?关于y为奇函数，积分域D关于x轴对称，则：??f?x,y?dxdy?0
D（2）如果z?f?x,y?关于y为偶函数，积分域D关于x轴对称（D1表示D位于x轴上方的部分），则：??f?x,y?dxdy?2??f?x,y?dxdy （注：平面域关于x轴对称）
DD1（3）连续函数u?f?x,y,z?关于z为奇函数，积分域?关于xoy面对称， 则：???f?x,y,z?dv?0
?（4）连续函数u?f?x,y,z?关于z为偶函数，积分域?关于xoy面对称，?1表示?的位于xoy面上方的部分，
则： ???f?x,y,z?dv?2???f?x,y,z?dv (注：立体关于坐标面对称)
??1（5）如果D关于x?y对称，
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