5104）3(-5)=，a=. 231545?????????
∴y=(x-)(x-5).(10分）
1525又∵C点在抛物线上，且yQ=±，
12455∴(x-)(x-5)=±. 15212a3(-解之，得x1=
1515?5215?52，x2=，x3=.
4445515515?5215?52????
，)，或（，)，或（，-）.(12121241244∴点Q的坐标为（
分）
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4、（2013?天津压轴题）已知抛物线y1=ax+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示： （Ⅰ）求y1与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）． （1）求y2与x之间的函数关系式；
（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围． x ? ﹣1 0 3 ? 2y1=ax+bx+c ? 0 0 ? 考点： 二次函数综合题． 专题： 探究型． 分析： （I）先根据物线经过点（0，）得出c的值，再把点（﹣1，0）、（3，0）代入抛物线y1的解析式即可得出y1与x之间的函数关系式； （II）先根据（I）中y1与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标． ①记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=|y2﹣t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2），故QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y2与x之间的函数关系式； ②据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，可知6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），由于3＞，所以不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，求出y1﹣y2的值；若3t﹣6
11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1，为3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞即t=也符合题意． ）在x轴下方，因，符合题意；若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线经过点（0，）， ∴c=． ∴y1=ax+bx+， ∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线y1=ax+bx+上， 22∴，解得， ∴y1与x之间的函数关系式为：y1=﹣x+x+； （II）∵y1=﹣x+x+， ∴y1=﹣（x﹣1）+3， ∴直线l为x=1，顶点M（1，3）． ①由题意得，t≠3， 如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时， ∵由已知得，AM与BP互相垂直平分， ∴四边形ANMP为菱形， ∴PA∥l， 又∵点P（x，y2）， ∴点A（x，t）（x≠1）， ∴PM=PA=|y2﹣t|， 过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2）， ∴QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|， 在Rt△PQM中， ∵PM=QM+PQ，即（y2﹣t）=（y2﹣3）+（x﹣1），整理得，y2=222222222（x﹣1）+2， 即y2=x﹣3x+， ∵当点A与点C重合时，点B与点P重合， 7
∴P（1，）， ∴P点坐标也满足上式， ∴y2与x之间的函数关系式为y2=x﹣3x+（t≠3）； ②根据题意，借助函数图象： 当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，∵3＞， ）， ∴不合题意， 当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时， y1﹣y2=﹣（x﹣1）+3﹣[=（x﹣1）+22（x﹣1）+， 2] 若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立， 只要抛物线y=轴下方， ∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，即t=，符合题意； 也符合题意． ． （x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥ 点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用．
5、(2013年江西省压轴题)已知抛物线抛物线y n=-(x-an)+an（n为正整数，且0
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n）与x轴的交点为An-1（bn-1,0）和An(bn，0)，当n=1时，第1条抛物线y1=-(x-a1)+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推． （1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为（ ， ）；
依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ ， ）; 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是 ； （3）探究下列结论：
①若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出An-1An；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵y(x―a2
1=―1)+a1与x轴交于点A0（0，0），
∴―a2
1+ a1=0，∴a1=0或1． 由已知可知a1>0， ∴a1=1．
即y―(x―1)2
1=+1
方法一：令y=0代入得：―(x―1)2
1+1=0， ∴x1=0，x2=2，
∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0） ∴b1=2，
方法二：∵y―a2
1=―(x1)+a1与x轴交于点A0（0，0），
∴―(b2
1―1)+1=0，b1=2或0，b1=0（舍去）．
∴b1=2．
又∵抛物线y2
2=―(x―a2)+a2与x轴交于点A1（2，0），
∴―(2―a2
2)+ a2=0，
∴a2=1或4，∵a2> a1，∴a2=1（舍去）．
∴取a2
2=4，抛物线y2=―(x―4)+4． （2）（9，9）；
（n2，n2
） y=x． 详解如下：
∵抛物线y=―(x―4)2+4令y4)2
22=0代入得：―(x―+4=0， ∴x1=2，x2=6．
∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0）．
又∵抛物线y2
3=―(x―a3)+a3与x轴交于A2（6，0），
∴―(6―a2
3)+a3=0
∴a3=4或9，∵a3> a3，∴a3=4（舍去）， 即a3=9，∴抛物线y3的顶点坐标为（9，9）． 由抛物线y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为（9，9），
依次类推抛物线yn2，n2
n的顶点坐标为（）．
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标， ∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x； ③∵A0（0，0），A1（2，0）， ∴A0 A1=2．
又∵yx―n2)2+n2
n=―(，
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令yn=0，
222
∴―(x―n)+n=0，
22
即x1=n+n，x2=n－n，
2222
∴A n－1(n－n，0)，A n(n+n，0)，即A n－1 A n=( n+n)－( n－n)=2 n． ②存在．是平行于直线y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x－2．
【考点解剖】 本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界．
【解题思路】 （1）将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值；a1的值知道了y1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b1的值，又把（b1，0）代入y2，可求出a2 ，即得y2的解析式；（2）用同样的方法可求得a3 、a4 、a5 ??由此得到规律an?n2，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；（3）由（2）可知A0A1?2,A1A2?4,A2A3?6得An?1An?2n; 最后一问我们会猜测这是与直线y=x平行且过A（2，0）的一条直线，用特殊值法取
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