?y??(x?4)2?4,?x1?2,?x2?5,得?和?，得所截得的线段长度为32，换一组抛物线??y1?0?y2?3?y?x?2?y??(x?n2)2?n2,试试，求出的值也为32（当然用字母来运算就是解?得
?y?x?222??x1?n?1,??x2?n?2,和?，求得所截得的线段长度也为32）. ?22??y1?n?1??y2?n?4【解答过程】 略.
【方法规律】 掌握基础（知识），灵活运用（方法），敢于动手，不畏艰难.
【关键词】 二次函数 抛物线 规律探究
6、(2013年武汉压轴题)如图，点P是直线l：y??2x?2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y?x2于A、B两点．
13x?，求A、B两点的坐标； 22（2）①若点P的坐标为（－2，t），当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；
②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB（1）若直线m的解析式为y??成立．
（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．
yy
y ll lm mPAA P
BB
x OOxO
第25（3）题图第25（2）题图 第25（1）题图C解析： 3?13?x????y??x?,?12，?x2?1
22解得?（1）依题意，得??92?y2?1?y?x.?y?1??4?∴A（?x39，），B（1，1）． 24（2）①A1（－1，1），A2（－3，9）．
②过点P、B分别作过点A且平行于x轴的直线的垂线，垂足分别为G、H.
设P（a，?2a?2），A（m，m2），∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH， ∴AG＝AH，PG＝BH，∴B（2m?a，2m2?2a?2），
将点B坐标代入抛物线y?x2，得2m2?4am?a2?2a?2?0，
11
∵△＝16a2?8a2?2a?2?8a2?16a?16?8?a?1??8?0
2??∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的 点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A．
（3）设直线m：y?kx?b?k?0?交y轴于D，设A（m，m2），B（n，n2）．
过A、B两点分别作AG、BH垂直x轴于G、H．
∵△AOB的外心在AB上，∴∠AOB＝90°， 由△AGO∽△OHB，得
AGOH，∴mn??1． ?OGBH联立??y?kx?b?y?x2得x2?kx?b?0，依题意，得m、n是方程x2?kx?b?0的两
根，∴mn??b，∴b??1，即D（0，1）． ∵∠BPC＝∠OCP，∴DP＝DC＝3．P
设P（a，?2a?2），过点P作PQ⊥y轴于Q，在Rt△PDQ中，PQ2?DQ2?PD2， ∴a2???2a?2?1??32．∴a1?0（舍去），a2??2121214，∴P（?，）． 555∵PN平分∠MNQ，∴PT＝NT，∴?t?y12t?2?2?t?， 2 y
P
l
m
QAPHG A
BB
xOGOH
第25（3）题图 第25（2）题图 C
2
7、（2013?内江压轴题）已知二次函数y=ax+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B
2
（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x+4x﹣5=0的两根． （1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值； （2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
x12
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论； （2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式． 2解答： 解：（1）解方程x+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1， 由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）． 抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0）， ∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a）， 令x=0，得y=﹣5a， ∴C点的坐标为（0，﹣5a）． 依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a， 过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a． S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC =（DE+OA）?OE﹣DE?CE﹣OA?OC =（2+5）?9a﹣3234a﹣3535a =15a， 而S△ABC=AB?OC=3635a=15a， ∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1； （2）如解答图所示， 2222在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD=DE+CE=4+16a， 2222在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=OA+OC=25+25a， 设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3， 2222在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD=AF+DF=9+81a． ∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形， 222由勾股定理得：AD+CD=AC， 222即（9+81a）+（4+16a）=25+25a，化简得：a2=， ∵a＞0， ∴a=， 13
∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x+2x﹣． 点评： 本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错．注意第（1）问中求△ACD面积的方法． 8、（2013?泸州压轴题）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2
﹣），已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式； （2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标； （3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值． 14
解答： 解：（1）将A（﹣2，0），B（1，﹣），O（0，0）三点的坐标代入y=ax+bx+c（a≠0）， 2可得：， 解得：， 故所求抛物线解析式为y=﹣ （2）存在．理由如下： 如答图①所示， ∵y=﹣x﹣2x﹣2x； x=﹣（x+1）+2， ∴抛物线的对称轴为x=﹣1． ∵点C在对称轴x=﹣1上，△BOC的周长=OB+BC+CO； ∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小， ∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA， △BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA， ∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小． 设直线AB的解析式为y=kx+t，则有： ，解得：， ∴直线AB的解析式为y=﹣当x=﹣1时，y=﹣， x﹣， ∴所求点C的坐标为（﹣1，﹣）； （3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0）， 则y=﹣x﹣2x ① 如答图②所示，过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=﹣x，PG=﹣y， 由题意可得：S△PAB=S梯形AFEB﹣S△AFP﹣S△BEP =（AF+BE）?FE﹣AF?FP﹣PE?BE =（y++y）（1+2）﹣y?（2+x）﹣（1﹣x）（+y） 15