=y+x+ ② x﹣2将①代入②得：S△PAB=（﹣=﹣=﹣x﹣2x）+x+ x+2 ， （x+）+∴当x=﹣时，△PAB的面积最大，最大值为此时y=﹣3+3=， ）． ∴点P的坐标为（﹣， 点评： 本题考查了坐标系中点的坐标求法，抛物线解析式的求法，根据对称性求线段和最小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题；解答本题（3）也可以将直线AB向下平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可求唯一交点P的坐标． 9、（2013聊城压轴题）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长； （2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
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（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y=48时代入解析式就可以求出其值； （2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值．
（3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值． 解答：解：（1）由题意，得 y=
=﹣x+10x，
2
2
当y=48时，﹣ x+10x=48， 解得：x1=12，x2=8，
∴面积为48时BC的长为12或8；
2
（2）∵y=﹣x+10x，
2
∴y=﹣（x﹣10）+50， ∴当x=10时，y最大=50；
（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10
过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′， 连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′ 则由对称性得：A′B′=A′B，AB′=AB， ∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C， 当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：△ABC的周长=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，
因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小； 这时由作法可知：BB′=20，∴B′C=
=10
，∴△ABC的周长=10
+10．
+10，
因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10
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点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键． 10、（2013?苏州压轴题）如图，已知抛物线y=x+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）b=
+c ，点B的横坐标为 ﹣2c （上述结果均用含c的代数式表示）；
2
2
（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有 11 个．
考点： 二次函数综合题． 分析： 2（1）将A（﹣1，0）代入y=x+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1?xB=，即xB=﹣2c； 18
（2）由y=x+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待2定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为（1﹣2c，1﹣c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=﹣x+c，求出c=﹣2，进而得到抛物线的解析式为y=x﹣x﹣2； （3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，由0＜S＜S△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．设点P坐标为（x，x﹣x﹣2），则点F坐标为（x，x﹣2），PF=PG﹣GF=﹣x+2x，S=PF?OB=﹣x+4x=﹣（x﹣2）+4，根据二次函数的性质求出S最大值=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5； ②由0＜S＜5，S为整数，得出S=1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，根据△PBC中BC边上的高h小于△ABC中BC边上的高AC=，得出满足条2件的△PBC共有4个；（Ⅱ）当0＜x＜4时，由于S=﹣x+4x，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的△PBC共有7个；则满足条件的△PBC共有4+7=11个． 解答： 2解：（1）∵抛物线y=x+bx+c过点A（﹣1，0）， ∴0=3（﹣1）+b3（﹣1）+c， ∴b=+c， ∵抛物线y=x+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（xB，0）（点A位于点B的左侧）， ∴﹣1与xB是一元二次方程x+bx+c=0的两个根， ∴﹣1?xB=， 22222222∴xB=﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c； （2）∵抛物线y=x+bx+c与y轴的负半轴交于点C， ∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）． 设直线BC的解析式为y=kx+c， ∵B（﹣2c，0）， 19
2∴﹣2kc+c=0， ∵c≠0， ∴k=， ∴直线BC的解析式为y=x+c． ∵AE∥BC， ∴可设直线AE得到解析式为y=x+m， ∵点A的坐标为（﹣1，0）， ∴3（﹣1）+m=0，解得m=， ∴直线AE得到解析式为y=x+． 由，解得，， ∴点E坐标为（1﹣2c，1﹣c）． ∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0）， ∴直线CD的解析式为y=﹣x+c． ∵C，D，E三点在同一直线上， ∴1﹣c=﹣3（1﹣2c）+c， ∴2c2+3c﹣2=0， ∴c1=（与c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2， ∴b=+c=﹣， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2； （3）①设点P坐标为（x，x2﹣x﹣2）． ∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=x﹣2． 分两种情况： （Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB． ∵S△ACB=AB?OC=5， ∴0＜S＜5； （Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F． 20
2），