∴抛物线对称轴与OB交点为M（2，又∵P（2t，0） 设过P，M的直线解析式为：y=kx+b， ∴， ）， 解得：， 即直线PM的解析式为：y=x﹣， 即（1﹣t）y=x﹣2t， 又0≤t≤2时，Q（3﹣t，），代入上式，得： （1﹣t）3=3﹣t﹣2t，恒成立， 即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上， 即M在直线PQ上； 当2＜t≤3时，OQ=4﹣t，∠QOP=60°， ∴Q（，）， 3（1﹣t）=﹣2t， 代入上式得：解得：t=2或t=（均不合题意，舍去）． ∴综上所述，可知过点A、B、C三点的抛物线的对称轴OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2． 点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和待定系数26
法求一次函数解析式等知识，利用分类讨论思想得出t的值是解题关键． 22
13、（2013?荆门压轴题）已知关于x的二次函数y=x﹣2mx+m+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2） （1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；
（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想． （3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式
）．
考点： 二次函数综合题．3718684 2分析： （1）先将k=1，m=0分别代入，得出二次函数的解析式为y=x，直线的解析式为y=x+1，联立，得x﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1?x2=2﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C，证明△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理得出AB=AC，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=；同理，当k=1，m=1时，AB=； （2）当k=1，m为任何值时，联立，得x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0，222根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1，x1?x2=m+m﹣1，同（1）可求出AB=； （3）当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，联立，得x﹣x2﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1?x2=﹣1，同（1）求出222AB=，则AB=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出OA+OB=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形；③当k为任意实数时，联立2，得x﹣kx﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=k，x1?x2=﹣1，根据两点2422242间距离公式及完全平方公式求出AB=k+5k+4，OA+OB═k+5k+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形． 解答： 解：（1）当k=1，m=0时，如图． 由得x﹣x﹣1=0， 2∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1， 过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C． ∵直线AB的解析式为y=x+1， 27
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC=|x2﹣x1|==； 同理，当k=1，m=1时，AB=； （2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=由2．理由如下： ，得x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0， 22∴x1+x2=2m+1，x1?x2=m+m﹣1， ∴AB=AC=|x2﹣x1|==； （3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下： ①当k=0时，则函数的图象为直线y=1， 由，得A（﹣1，1），B（1，1）， 显然△AOB为直角三角形； ②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1， 由，得x﹣x﹣1=0， 2∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1， ∴AB=2AC=|x2﹣x1|==， ∴AB=10， 222222∵OA+OB=x1+y1+x2+y2 2222=x1+x2+y1+y2 2222=x1+x2+（x1+1）+（x2+1） 2222=x1+x2+（x1+2x1+1）+（x2+2x2+1） 22=2（x1+x2）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+231+2 =10， 222∴AB=OA+OB， ∴△AOB是直角三角形； ③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形． 由，得x﹣kx﹣1=0， 2∴x1+x2=k，x1?x2=﹣1， 222∴AB=（x1﹣x2）+（y1﹣y2） 22=（x1﹣x2）+（kx1﹣kx2） 22=（1+k）（x1﹣x2） 22=（1+k）[（x1+x2）﹣4x1?x2] 28
=（1+k）（4+k） 42=k+5k+4， 222222∵OA+OB=x1+y1+x2+y2 2222=x1+x2+y1+y2 2222=x1+x2+（kx1+1）+（kx2+1） 222222=x1+x2+（kx1+2kx1+1）+（kx2+2kx2+1） 222=（1+k）（x1+x2）+2k（x1+x2）+2 22=（1+k）（k+2）+2k?k+2 42=k+5k+4， 222∴AB=OA+OB， ∴△AOB为直角三角形． 22 点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度．本题对式子的变形能力要求较高，体现了由特殊到一般的思想． 2
14、（2013?黔东南州压轴题）已知抛物线y1=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式；
2
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．
29
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）确定出抛物线与x轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象．由图象可以直观地看出使得y1≥y2的x的取值范围； （3）首先求出点B的坐标及线段AB的长度；设△PAB中，AB边上的高为h，则由S△PAB≤6可以求出h的范围，这是一个不等式，解不等式求出xP的取值范围． 解答： 解：（1）∵抛物线与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2， ∴交点的纵坐标为2+1=3，即交点坐标为（2，3）． 2设抛物线的解析式为y1=a（x﹣1）+4，把交点坐标（2，3）代入得： 23=a（2﹣1）+4，解得a=﹣1， 22∴抛物线解析式为：y1=﹣（x﹣1）+4=﹣x+2x+3． 2（2）令y1=0，即﹣x+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1， ∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）． 在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图： 根据图象，可知使得y1≥y2的x的取值范围为﹣1≤x≤2． （3）由（2）可知，点A坐标为（3，0）． 令x=3，则y2=x+1=3+1=4，∴B（3，4），即AB=4． 设△PAB中，AB边上的高为h，则h=|xP﹣xA|=|xP﹣3|， S△PAB=AB?h=343|xP﹣3|=2|xP﹣3|． 已知S△PAB≤6，2|xP﹣3|≤6，化简得：|xP﹣3|≤3， 30