∴点F坐标为（x，x﹣2）， ∴PF=PG﹣GF=﹣（x﹣x﹣2）+（x﹣2）=﹣x+2x， ∴S=S△PFC+S△PFB=PF?OB=（﹣x+2x）34=﹣x+4x=﹣（x﹣2）+4， ∴当x=2时，S最大值=4， ∴0＜S≤4． 综上可知0＜S＜5； ②∵0＜S＜5，S为整数， ∴S=1，2，3，4． 分两种情况： （Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h． ∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2）， 222∴AC=1+4=5，BC=16+4=20，AB=25， 222∴AC+BC=AB，∠ACB=90°，BC边上的高AC=． ∵S=BC?h，∴h=如果S=1，那么h=如果S=2，那么h=如果S=3，那么h=如果S=4，那么h==31=32=33=34==S． ＜＜＜＜，此时P点有1个，△PBC有1个； ，此时P点有1个，△PBC有1个； ，此时P点有1个，△PBC有1个； ，此时P点有1个，△PBC有1个； 22222即当﹣1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有4个； 2（Ⅱ）当0＜x＜4时，S=﹣x+4x． 22如果S=1，那么﹣x+4x=1，即x﹣4x+1=0， ∵△=16﹣4=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个； 22如果S=2，那么﹣x+4x=2，即x﹣4x+2=0， ∵△=16﹣8=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个； 22如果S=3，那么﹣x+4x=3，即x﹣4x+3=0， ∵△=16﹣12=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个； 22如果S=4，那么﹣x+4x=4，即x﹣4x+4=0， ∵△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，△PBC有1个； 即当0＜x＜4时，满足条件的△PBC共有7个； 综上可知，满足条件的△PBC共有4+7=11个． 故答案为+c，﹣2c；11． 21
点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标，三角形的面积，一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识，综合性较强，有一定难度，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 11、（2013?宜昌压轴题）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）
（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A （t，4） ，k= （k＞0） ； （2）随着三角板的滑动，当a=时：
①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y=
的图象上；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值； （3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值； （2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=数解析式y=y=，即表示该顶点在函数y=，若该点满足函图象上；反之，该顶点不在函数图象上； ②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1=x（x﹣t）即可求得t=2； 22
（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是此可以求得a与t的关系式． 解答： 解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4， ∴点A的坐标是（t，4）． 又∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）， ∴4=kt，则k=（k＞0）． （2）①当a=时，y1=x（x﹣t），其顶点坐标为（，﹣对于y=上． 故当a=时，抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y= ②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K． ∵AC⊥x轴， ∴AC∥EK． ∵点E是线段AB的中点， ∴K为BC的中点， ∴EK是△ACB的中位线， ∴EK=AC=2，CK=BC=2， ∴E（t+2，2）． ∵点E在抛物线y1=x（x﹣t）上， ∴（t+2）（t+2﹣t）=2， 解得t=2． （3）如图2，，则x=ax（x﹣t）， 来说，当x=时，y=3=﹣）． +4．则t+4=+4，由，即点（，﹣）在抛物线y=的图象上； 解得x=+4，或x=0（不合题意，舍去）．． +t． +t， 故点D的横坐标是当x=+t时，|y2﹣y1|=0，由题意得t+4=解得a=（t＞0）． 23
点评： 本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用． 12、（2013?黄冈压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；
（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．
考点： 二次函数综合题．3481324 分析： （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出△OPQ的高，进而利用三角形面积公式求出即可； （3）根据题意得出：0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，得出若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，得出△OPQ不可能为直角三角形； （4）首先求出抛物线对称轴以及OB直线解析式和PM的解析式，得出（1﹣t）3=3﹣t﹣2t，恒成立，即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，再利用2＜t≤3时，求出t的值，根据t的取值范围得出答案． 2解答： 解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax+bx+c，把A（6，0），B（3，），C（1，）三点坐标代入得： 24
， 解得：， 即所求抛物线解析式为：y=﹣x+2x+； （2）如图1，依据题意得出：OC=CB=2，∠COA=60°， ∴当动点Q运动到OC边时，OQ=4﹣t， ∴△OPQ的高为：OQ3sin60°=（4﹣t）3又∵OP=2t， ∴S=32t3（4﹣t）3=﹣（t﹣4t）（2≤t≤3）； 2， （3）根据题意得出：0≤t≤3， 当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP=2t，OQ=PQ==， ， ∵∠POQ＜∠POC=60°， ∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°， 222222若∠OPQ=90°，如图2，则OP+PQ=QO，即4t+3+（3t﹣3）=3+（3﹣t）， 解得：t1=1，t2=0（舍去）， 若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°， 222222若∠OQP=90°，如图，3，则OQ+PQ=PO，即（3﹣t）+6+（3t﹣3）=4t， 解得：t=2， 当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时QP=2t＞4， ∠POQ=∠COP=60°， OQ＜OC=2， 故△OPQ不可能为直角三角形， 综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形； （4）由（1）可知，抛物线y=﹣其对称轴为x=2， 又∵OB的直线方程为y=x， x+2x+=﹣（x﹣2）+2， 25