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三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a) g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程；
② 由恒等的概念用数值代入法列方程； ③ 利用定义本身的属性列方程； ④ 利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设f(x)＝ ＋m，f(x)的反函数f (x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
2. 二次不等式ax ＋bx＋2>0的解集是(－ , )，则a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
3. 在(1－x )（1＋x） 的展开式中，x 的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
4. 函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为 ，最小值为－ ，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。
5. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。 6. 与双曲线x － ＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。 【简解】1小题：由f(x)＝ ＋m求出f (x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；
2小题：由不等式解集(－ , )，可知－ 、 是方程ax ＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；
3小题：分析x 的系数由C 与(－1)C 两项组成，相加后得x 的系数，选D；
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4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案 ； 5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0； 6小题：设双曲线方程x － ＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程 － ＝1。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知函数y＝ 的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 【解】 函数式变形为： (y－m)x －4 x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0 ∴ △＝(－4 ) －4(y－m)(y－n)≥0 即： y －(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y －(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根， 代入两根得： 解得： 或 ∴ y＝ 或者y＝
此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y －6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得： ，解出m、n而求得函数式y。
【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是 － ，求椭圆的方程。
y B’
x A F O’ F’ A’
B
【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a ∴ 解得：
∴ 所求椭圆方程是： ＋ ＝1
也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式： ，更容易求出a、b的值。
【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本
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题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。
一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1?2 ＋2?3 ＋?＋n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题）
【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。
【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝ (a＋b＋c)；n＝2，得22＝ (4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得： ,解得 ，
于是对n＝1、2、3，等式1?2 ＋2?3 ＋?＋n(n＋1) ＝ (3n ＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：
假设对n＝k时等式成立，即1?2 ＋2?3 ＋?＋k(k＋1) ＝ (3k ＋11k＋10)；
当n＝k＋1时，1?2 ＋2?3 ＋?＋k(k＋1) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (3k ＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2) ＝ （3k ＋5k＋12k＋24）＝ [3(k＋1) ＋11(k＋1)＋10]，
也就是说，等式对n＝k＋1也成立。
综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1 ＋2 ＋?＋n 、1 ＋2 ＋?＋n 求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1) ＝n ＋2n ＋n得S ＝1?2 ＋2?3 ＋?＋n(n＋1) ＝(1 ＋2 ＋?＋n )＋2(1 ＋2 ＋?＋n )＋(1＋2＋?＋n)＝ ＋2× ＋ ＝ (3n ＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。
【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。 ∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 显然:15－x>0，7－x>0，x>0。
设V＝ (15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，则
解得：a＝ ， b＝ ， x＝3 。
从而V＝ ( － )( － x)x≤ ( ) ＝ ×27＝576。
所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm 。
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【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝ (15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝log x的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。
A. 2>a> 且a≠1 B. 02或0
2. 方程x ＋px＋q＝0与x ＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。 A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定
3. 如果函数y＝sin2x＋a?cos2x的图像关于直线x＝－ 对称，那么a＝_____。 A. B. － C. 1 D. －1
4. 满足C ＋1?C ＋2?C ＋?＋n?C <500的最大正整数是_____。
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 无穷等比数列{a }的前n项和为S ＝a－ , 则所有项的和等于_____。 A. － B. 1 C. D.与a有关
6. (1＋kx) ＝b ＋b x＋b x ＋?＋b x ，若b ＋b ＋b ＋?＋b ＝－1，则k＝______。 7. 经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。
8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。
9. 设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋?＋f(m)的值。
10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是4 , 求抛物线的方程。
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四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。 Ⅰ、再现性题组：
1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。
A. MP
4. 椭圆 ＋ ＝1上有一点P，它到左准线的距离为 ，那么P点到右焦点的距离为_____。 A. 8 C. 7.5 C. D. 3
5. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－ )的值为_____。 A. T B. 0 C. D. 不能确定
6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题：利用并集定义，选B；
2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； 3小题：利用复数模的定义得 < ，选A；
4小题：利用椭圆的第二定义得到 ＝e＝ ，选A；
5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－ )＝f( )＝－f(－ )，选B； 6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。 Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z ＋3 －4，求w的三角形式； ② 如果 ＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理）
【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。
【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z ＋3 －4＝(1＋ｉ) ＋3 －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是 （cos ＋ｉsin ）；
由z＝1＋ｉ，有 ＝ ＝ ＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。 由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根据复数相等的定义，得： ， 解得 。
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