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“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组：
1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。 A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根 2. 已知a<0,－1 A. a>ab> ab B. ab >ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab >a 3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。 A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交 C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交 4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。(97年全国理) A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A； 2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D； 3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B； 4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C －C ×4－3－6,选D。 S C A O B Ⅱ、示范性题组： 例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。 【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。 【证明】 假设AC⊥平面SOB， ∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO， ∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB， ∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O， 这显然出现矛盾，所以假设不成立。 即AC与平面SOB不垂直。 【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。 例2. 若下列方程：x ＋4ax－4a＋3＝0， x ＋(a－1)x＋a ＝0, x ＋2ax－2a＝0至少有一个 26 27 方程有实根。试求实数a的取值范围。 【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。 【解】 设三个方程均无实根，则有： ,解得 ,即－ 所以当a≥－1或a≤－ 时，三个方程至少有一个方程有实根。 【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。 例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠ )，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。 【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。 【证明】 ① 设M (x ,y )、M (x ,y )是函数图像上任意两个不同的点，则x ≠x , 假设直线M M 平行于x轴，则必有y ＝y ，即 ＝ ，整理得a(x －x )＝x －x ∵x ≠x ∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾， 因此假设不对，即直线M M 不平行于x轴。 ② 由y＝ 得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝ ， 即原函数y＝ 的反函数为y＝ ，图像一致。 由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝ 的图像关于直线y＝x成轴对称图像。 【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 已知f(x)＝ ，求证：当x ≠x 时，f(x )≠f(x )。 2. 已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证： 、 、 不可能成等差数列。 3. 已知f(x)＝x ＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 。 4. 求证：抛物线y＝ －1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。 5. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x ＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。 A F D B M N 27 28 E C 6. 两个互相垂直的正方形如图所示，M、N在相应对角线上，且有EM＝CN，求证：MN不可能垂直CF。 第二章 高中数学常用的数学思想 一、数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特 28 29 征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 Ⅰ、再现性题组： 5. 设命题甲：0 A. 0b>1 D. b>a>1 7. 如果|x|≤ ,那么函数f(x)＝cos x＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文) A. B. － C. －1 D. 8. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国) A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 9. 设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么 等于_____。 (90年全国) A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1 10. 如果θ是第二象限的角，且满足cos －sin ＝ ,那么 是_____。 A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 11. 已知集合E＝{θ|cosθ A. ( ,π) B. ( , ) C. (π, ) D. ( , ) 12. 若复数z的辐角为 ，实部为－2 ，则z＝_____。 A. －2 －2ｉ B. －2 ＋2ｉ C. －2 ＋2 ｉ D. －2 －2 ｉ 13. 如果实数x、y满足等式(x－2) ＋y ＝3，那么 的最大值是_____。 (90年全国理) A. B. C. D. 14. 满足方程|z＋3－ ｉ|＝ 的辐角主值最小的复数z是_____。 【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A; 2小题：由已知画出对数曲线，选B； 3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D； 4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B； 5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B； 6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B； 7小题：利用单位圆，选A； 8小题：将复数表示在复平面上，选B； 9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D； 10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－ ＋ ｉ。 29 30 【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。 y 4 y=1-m 1 O 2 3 x Ⅱ、示范性题组： 例1. 若方程lg(－x ＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。 【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。 【解】 原方程变形为 即： 设曲线y ＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y ＝1－m，图像如图所示。由图可知： ① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3 此题也可设曲线y ＝－(x－2) ＋1 , x∈(0,3)和直线y ＝m后画出图像求解。 【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。 y A D O B x C 例2. 设|z |＝5，|z |＝2, |z － |＝ ，求 的值。 【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。 【解】 如图，设z ＝ 、z ＝ 后，则 ＝ 、 ＝ 如图所示。 由图可知，| |＝ ，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得： cos∠AOD＝ ＝ ∴ ＝ ( ± ｉ)＝2± ｉ y A D O x 【另解】设z ＝ 、 ＝ 如图所示。则| |＝ ，且 cos∠AOD＝ ＝ ，sin∠AOD＝± ， 所以 ＝ ( ± ｉ)＝2± ｉ，即 ＝2± ｉ。 30