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【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。
例2. 已知f(x)＝－x ＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log f(x)的定义域，判定在( ,1)上的单调性。
【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。 【解】 解得：
∴ f(x)＝－x ＋x 解f(x)>0得：0 设 ∵ <1 ∴ y＝log f(x) 在( ,1)上是增函数。 A’ A D C’ C O H B’ B 【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。 例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。 ① 证明：AB’∥平面DBC’； ② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理） 【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四边形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中点 △AB’C中， D是AC中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’ ② 作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。 设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝ sin60°＝ ，BH＝ ，EH＝ ； Rt△BOH中，OH ＝BH×EH＝ ， ∴ OH＝ ＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。 【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要 16 17 求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以 ＝ ＝ ，EF＝ B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE 即 B’E ＝1，所以B’E＝ 。 y M F A x 例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为 的椭圆的下顶点的轨迹方程。 【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到 ＝ 建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。 【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到： ，消m得：（x－1） ＋ ＝1， 所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1） ＋ ＝1。 【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。 Ⅲ、巩固性题组： 1． 函数y＝f(x)＝a ＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式是___。 2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A 、B ,则∠A FB 等于_____。 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|x A}，则下列关系正确的是_____。 A. A B B. A B C. A∈B D. A B 4. 双曲线3x －y ＝3的渐近线方程是_____。 A. y＝±3x B. y＝± x C. y＝± x D. y＝± x 5. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数 6. C ＋C ＝________。 7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数 的辐角主值是__________。 8. 不等式ax ＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx ＋cx＋a<0解集是__________。 9. 已知数列{a }是等差数列，求证数列{b }也是等差数列，其中b ＝ (a ＋a ＋?＋a )。 10. 已知F 、F 是椭圆 ＋ ＝1 (a>b>0)的两个焦点，其中F 与抛物线y ＝12x的焦点重合， 17 18 M是两曲线的一个焦点，且有cos∠M F F ?cos∠MF F ＝ ，求椭圆方程。 五、数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2 ?1?2?(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。 A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D. 2. 用数学归纳法证明1＋ ＋ ＋?＋ A. 2 B. 2 －1 C. 2 D. 2 ＋1 3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考) A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立 C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立 18 19 4. 数列{a }中，已知a ＝1，当n≥2时a ＝a ＋2n－1，依次计算a 、a 、a 后，猜想a 的表达式是_____。 A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3 5. 用数学归纳法证明3 ＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3 ＋5 应变形为_______________________。 6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。 【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)?(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)?(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为 ，选B； 2小题：（2 －1）－（2 －1）＝2 ，选C； 3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。 4小题：计算出a ＝1、a ＝4、a ＝9、a ＝16再猜想a ，选B； 5小题：答案（3 ＋5 ）3 ＋5 （5 －3 ）； 6小题：答案k－1。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知数列 ，得，?， ，?。S 为其前n项和，求S 、S 、S 、S ，推测S 公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理） 【解】 计算得S ＝ ，S ＝ ，S ＝ ，S ＝ ， 猜测S ＝ (n∈N)。 当n＝1时，等式显然成立； 假设当n＝k时等式成立，即：S ＝ ， 当n＝k＋1时，S ＝S ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ , 由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。 综上所述，等式对任何n∈N都成立。 【注】 把要证的等式S ＝ 作为目标，先通分使分母含有(2k＋3) ，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3） －1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。 【另解】 用裂项相消法求和： 由a ＝ ＝ － 得， S ＝（1－ ）＋（ － ）＋??＋ － ＝1－ ＝ 。 此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现 ＝ － 的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。 例2. 设a ＝ ＋ ＋?＋ (n∈N),证明： n(n＋1) 19 20 【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a ＝a ＋ ,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上 ，再与目标比较而进行适当的放缩求解。 【解】 当n＝1时，a ＝ ， n(n+1)＝ ， (n+1) ＝2 ， ∴ n＝1时不等式成立。 假设当n＝k时不等式成立，即： k(k＋1) k(k＋1)＋ > k(k＋1)＋(k＋1)＝ (k＋1)(k＋3)> (k＋1)(k＋2)， (k＋1) ＋ ＝ (k＋1) ＋ < (k＋1) ＋(k＋ )＝ (k＋2) ， 所以 (k＋1)(k＋2) 【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将 缩小成(k＋1)、将 放大成(k＋ )的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。 本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对 的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由 >n可得，a >1＋2＋3＋?＋n＝ n(n＋1)；由 【分析】 要证明{a }是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：a ＝a ＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。 【解】 设a －a ＝d，猜测a ＝a ＋(n－1)d 当n＝1时，a ＝a ， ∴ 当n＝1时猜测正确。 当n＝2时，a ＋(2－1)d＝a ＋d＝a ， ∴当n＝2时猜测正确。 假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a ＝a ＋(k－1)d ， 当n＝k＋1时，a ＝S －S ＝ － ， 将a ＝a ＋(k－1)d代入上式， 得到2a ＝(k＋1)(a ＋a )－2ka －k(k－1)d， 整理得(k－1)a ＝(k－1)a ＋k(k－1)d， 因为k≥2,所以a ＝a ＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。 综上所述，对所有的自然数n，都有a ＝a ＋(n－1)d，从而{a }是等差数列。 【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证明过程中a 的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S ＝ 、数列中通项与前n项和的关系a ＝S －S 建立含a 的方程，代入假设成立的式子a ＝a ＋(k－1)d解出来a 。另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)a ＝(k－1)a ＋k(k－1)d得到a ＝a ＋kd的条件是k≥2。 【另解】 可证a －a ＝ a － a 对于任意n≥2都成立：当n≥2时，a ＝S －S ＝ － ；同理有a ＝S －S ＝ － ；从而a －a ＝ －n(a ＋a )＋ ，整理得a －a ＝ a － a ，从而{a }是等差数列。 20