36
例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。
例4. 设函数f(x)＝ax －2x＋2，对于满足1
1 4 x
1 4 x
【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。 【解】当a>0时，f(x)＝a（x－ ） ＋2－ ∴ 或 或
∴ a≥1或 ； 当a<0时， ，解得φ；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意 由上而得，实数a的取值范围是a> 。
【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。
例5. 解不等式 >0 (a为常数，a≠－ )
【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－
【解】 2a＋1>0时，a>－ ； －4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论： 当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a； 当a＝0时，x >0，解得：x≠0；
当－ 0，解得: x<6a或x>－4a； 当a>－ 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a 综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－ －4a；当a>－ 时，6a 【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。 36 37 例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z ＋2|z|＝a 。 (90年全国高考) 【分析】由已知z ＋2|z|＝a和|z|∈R可以得到z ∈R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。 【解】 ∵ |z|∈R，由z ＋2|z|＝a得：z ∈R； ∴ z为实数或纯虚数 当z∈R时，|z| ＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋ ∴ z＝±(－1＋ )； 当z为纯虚数时，设z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y ＋2y＝a 解得：y＝1± （0≤a≤1） 由上可得，z＝±(－1＋ )或±(1± )ｉ 【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。 【另解】 设z＝x＋yｉ，代入得 x －y ＋2 ＋2xyｉ＝a； ∴ 当y＝0时，x ＋2|x|＝a，解得x＝±(－1＋ )，所以z＝±(－1＋ )； 当x＝0时，－y ＋2|y|＝a，解得y＝±(1± )，所以±(1± )ｉ。 由上可得，z＝±(－1＋ )或±(1± )ｉ 【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。 例7. 在xoy平面上给定曲线y ＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40） 【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。 【解】 设M(x,y)为曲线y ＝2x上任意一点，则 |MA| ＝(x－a) ＋y ＝(x－a) ＋2x＝x －2(a－1)x＋a ＝[x－(a－1)] ＋(2a－1) 由于y ＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论： 当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA} ＝2a－1； 当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA} ＝a ； 综上所述，有f(a)＝ 。 【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d＝f(a)的函数表达式。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 若log <1，则a的取值范围是_____。 A. (0, ) B. ( ,1) C. (0, )∪(1,+∞) D. ( ,+∞) 2. 非零实数a、b、c，则 ＋ ＋ ＋ 的值组成的集合是_____。 A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4} 3. f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。 A.当x＝2a时有最小值0 B.当x＝3a时有最大值0 C.无最大值，且无最小值 D.有最小值但无最大值 4. 设f (x,y)＝0是椭圆方程，f (x,y)＝0是直线方程，则方程f (x,y)＋λf (x,y)＝0 （λ∈R） 37 38 表示的曲线是_____。 A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况 5. 函数f(x)＝ax －2ax＋2＋b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_____。 A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3 C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正确 6.方程(x －x－1) ＝1的整数解的个数是_____。 A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8.z∈C，方程z －3|z|＋2＝0的解的个数是_____。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9.复数z＝a＋aｉ (a≠0)的辐角主值是______________。 10.解关于x的不等式： 2log (2x－1)>log (x －a) (a>0且a≠1) 11.设首项为1，公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S ，又设T ＝ ，求 T 。 12. 若复数z、z 、z 在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|＝2，求z 。 13. 有卡片9张，将0、1、2、?、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。 14. 函数f(x)＝(|m|－1)x －2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。 38 39 三、函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的??等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 Ⅰ、再现性题组： 1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞) 2.如果函数f(x)＝x ＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。 A. f(2) A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论 4.已知sinθ＋cosθ＝ ，θ∈( ，π)，则tgθ的值是_____。 A. － B. － C. D. 5.已知等差数列的前n项和为S ，且S ＝S (p≠q，p、q∈N)，则S ＝_________。 6.关于x的方程sin x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。 39 40 7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。 8. 建造一个容积为8m ，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。 【简解】1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C； 2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A； 3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B； 4小题：设tg ＝x (x>0），则 ＋ ＝ ，解出x＝2，再用万能公式，选A； 5小题：利用 是关于n的一次函数，设S ＝S ＝m， ＝x，则（ ,p）、( ,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0； 6小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t －t－1∈[－ ,1]，所以答案：[－ ,1]； 7小题：设高h，由体积解出h＝2 ，答案：24 ； 8小题：设长x，则宽 ，造价y＝4×120＋4x×80＋ ×80≥1760，答案：1760。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 设a>0，a≠1，试求方程log (x－ak)＝log (x －a )有实数解的k的范围。(89年全国高考) 【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。 【解】 将原方程化为：log (x－ak)＝log ， 等价于 （a>0,a≠1） ∴ k＝ － ( | |>1 ）, 设 ＝cscθ， θ∈(－ ,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ| 当θ∈(－ ,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg <－1，故k<－1； 当θ∈(0, )时，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg ∈(0,1)，故0 y C C -ak -a a x 【注】 求参数的范围，分离参数后变成函数值域的问题，观察所求函数式，引入新的变量，转化为三角函数的值域问题，在进行三角换元时，要注意新的变量的范围。一般地，此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范围之类的问题。本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想方法。 另一种解题思路是采取“数形结合法”： 将原方程化为：log (x－ak)＝log ，等价于x－ak＝ (x－ak>0)，设曲线C ：y＝x－ak，曲线C ：y＝ (y>0)，如图所示。 由图可知，当－ak>a或－a<－ak<0时曲线C 与C 有交点，即方程有实解。所以k的取值范围是：k<－1或0 还有一种思路是直接解出方程的根，然后对方程的根进行讨论，具体过程是：原方程等价变形为 后，解得： ，所以 >ak，即 －k>0，通分得 <0，解得k<－1或0 40