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一般地，在数列问题中含有a 与S 时，我们可以考虑运用a ＝S －S 的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S 求a 一类型题应用此关系最多。 Ⅲ、巩固性题组：
1. 用数学归纳法证明：6 ＋1 (n∈N)能被7整除。
2. 用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋?＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。 3. n∈N，试比较2 与(n＋1) 的大小，并用证明你的结论。
4. 用数学归纳法证明等式：cos ?cos ?cos ???cos ＝ (81年全国高考) 5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考）
6. 数列{a }的通项公式a ＝ (n∈N)，设f(n)＝(1－a )(1－a )?(1－a )，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
7. 已知数列{a }满足a ＝1，a ＝a cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。 ①．求a 和a ； ②.猜测a ，并用数学归纳法证明你的猜测。
8. 设f(log x)＝ , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)
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六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。 Ⅰ、再现性题组：
1. 设2 ＝3 ＝5 >1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。 2. （理）直线 上与点A(-2,3)的距离等于 的点的坐标是________。 （文）若k<－1，则圆锥曲线x －ky ＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z ＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
6. 椭圆 ＋ ＝1上的点到直线x＋2y－ ＝0的最大距离是_____。
A. 3 B. C. D. 2
【简解】1小题：设2 ＝3 ＝5 ＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；
2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝± 时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝ ，所以e＝－ ；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b ＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线； 4小题：设三条侧棱x、y、z，则 xy＝6、 yz＝4、 xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。 5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减； 6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝ 的最大值，选C。 Ⅱ、示范性题组：
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例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a ＋b ＋c 的最小值。
【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝ ＋t ，b＝ ＋t ，c＝ ＋t ，代入a ＋b ＋c 可求。
【解】由a＋b＋c＝1，设a＝ ＋t ，b＝ ＋t ，c＝ ＋t ，其中t ＋t ＋t ＝0， ∴ a ＋b ＋c ＝（ ＋t ） ＋（ ＋t ） ＋( ＋t ) ＝ ＋ (t ＋t ＋t )＋t ＋t ＋t ＝ ＋t ＋t ＋t ≥
所以a ＋b ＋c 的最小值是 。
【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ≥ 。
两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。 例2. 椭圆 ＋ ＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k ?k ＝－ ， ①．求证：|OP| ＋|OQ| 等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设 （椭圆参数方程），参数θ 、θ 为P、Q两点，先计算k ?k 得出一个结论，再计算|OP| ＋|OQ| ，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。
【解】由 ＋ ＝1，设 ，P(4cosθ ,2sinθ )，Q(4cosθ ,2sinθ ), 则k ?k ＝ ＝－ ，整理得到：
cosθ cosθ ＋sinθ sinθ ＝0,即cos（θ －θ ）＝0。
∴ |OP| ＋|OQ| ＝16cos θ ＋4sin θ ＋16cos θ ＋4sin θ ＝8＋12(cos θ ＋cos θ )＝20＋6（cos2θ ＋cos2θ )＝20＋12cos（θ ＋θ ）cos（θ －θ ）＝20， 即|OP| ＋|OQ| 等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为 ，
所以有( ) ＋y ＝2＋2(cosθ cosθ ＋sinθ sinθ )＝2, 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为 ＋ ＝1。
【注】由椭圆方程，联想到a ＋b ＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ ＋ cosθ ） ＋（sinθ ＋sinθ ） ，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－ ，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有： ，消y得(1＋4k )x ＝16,即|x |＝ ； ，消y得(1＋ )x ＝16，即|x |＝ ； 所以|OP| ＋|OQ| ＝( ) ＋（ ） ＝ ＝20。即|OP| ＋|OQ| 等于定值20。
在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝ |x －x |求|OP|和|OQ|的长。
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S
E
D C O F A B
例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cos β。
【分析】要证明cosα=-cos β，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。
设BC＝a (为参数)， 则SF＝ ＝ , SC＝ ＝ ＝
又 ∵BE＝ ＝ ＝
在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝ ＝ ＝－cos β。 所以cosα＝－cos β。
【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。 Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。 2. 函数y＝x＋2＋ 的值域是________________。
3. 抛物线y＝x －10xcosθ＋25＋3sinθ－25sin θ与x轴两个交点距离的最大值为_____ A. 5 B. 10 C. 2 D. 3
4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L ：x－3y＋10＝0及L ：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。
5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
6. f(x)＝(1－ cos x)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。
7. 若关于x的方程2x ＋xlg ＋lg ( )＋lg ＝0有模为1的虚根，求实数a的值及方程的根。 8. 给定的抛物线y ＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有 ＋ 为定值。
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七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、
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