31
【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。 本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z ＝5(cosθ ＋ｉsinθ )，z ＝＋ｉsinθ )，则|z － |＝|(5cosθ －2cosθ )＋(5sinθ ＋2sinθ )ｉ|＝ ＝ ，所以cos(θ ＋θ )＝ ,sin(θ ＋θ )＝± ，
＝ ＝ [cos(θ ＋θ )＋ｉsin(θ ＋θ )]＝ ( ± ｉ)＝2± ｉ。 本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z － |＝ 得： （z － ）( －z )＝z ＋z －z z － ＝25＋4－z z － ＝13,
所以z z ＋ ＝16,再同除以z 得 ＋ ＝4，设 ＝z，解得z＝2± ｉ。
几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。
例3. 直线L的方程为：x＝－ (p>0),椭圆中心D(2＋ ,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。 【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A( ,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： ，消y得：x －(4－7p)x＋(2p＋ )＝0
所以△＝16－64p＋48p >0,即6p －8p＋2>0，解得：p< 或p>1。 结合范围( ,4+ )内两根，设f(x)＝x －(4－7p)x＋(2p＋ )， 所以 < <4+ 即p< ，且f( )>0、f(4+ )>0即p>－4＋3 。 结合以上，所以－4＋3 例4. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m ＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x ＋y ≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考) 【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n ＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n ＋15上，且直线与圆x ＋y ＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。 【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n ＋15 ; 设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n ＋15上，且直线与圆x ＋y ＝144有公共点， 所以圆心到直线距离d＝ ＝3( ＋ )≥12 31 32 ∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。 【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。 本题直接运用代数方法进行解答的思路是： 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n ＋15 ,即b＝3n ＋15－an （①式）； 由(a,b)∈C得，a ＋b ≤144 （②式）； 把①式代入②式，得关于a的不等式： (1＋n )a －2n(3n ＋15)a＋(3n ＋15) －144≤0 （③式）, 它的判别式△＝4n (3n ＋15) －4(1＋n )[(3n ＋15) －144]＝－36(n －3) 因为n是整数，所以n －3≠0,因而△<0，又因为1＋n >0,故③式不可能有实数解。 所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立 Ⅲ、巩固性题组： 1. 已知5x＋12y＝60，则 的最小值是_____。 A. B. C. D. 1 2. 已知集合P＝{(x,y)|y＝ }、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。 A. |b|<3 B. |b|≤3 C. －3≤b≤3 D. －3 5. 若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。 6. 设z＝cosα＋ ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。 7. 若方程x －3ax＋2a ＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。 8. sin 20°＋cos 80°＋ sin20°?cos80°＝____________。 9. 解不等式： >b－x 10. 设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组 的解集，试确定a、b的取值范围，使得A B。 （90年高考副题） 11. 定义域内不等式 〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。 12. 已知函数y＝ ＋ ，求函数的最小值及此时x的值。 13. 已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。 14. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。 32 33 二、分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 33 34 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 2.若a>0且a≠1，p＝log (a ＋a＋1)，q＝log (a ＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。 A. p＝q B. p A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1 5.函数y＝x＋ 的值域是_____。 A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2] 6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。 A. B. C. D. 或 7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。 A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定 【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B； 2小题：对底数a分a>1、0 3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}； 4小题：分θ＝ 、0<θ< 、 <θ< 三种情况，选D； 5小题：分x>0、x<0两种情况，选B； 6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D； 7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 设0 34 35 【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。 【解】 ∵ 0 |log (1－x)|－|log (1＋x)|＝log (1－x)－[－log (1＋x)]＝log (1－x )>0; ② 当a>1时，log (1－x)<0，log (1＋x)>0，所以 |log (1－x)|－|log (1＋x)|＝－log (1－x) －log (1＋x)＝－log (1－x )>0； 由①、②可知，|log (1－x)|>|log (1＋x)|。 【注】本题要求对对数函数y＝log x的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0 例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. C A∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。 【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。 【解】 C ?C ＋C ?C ＋C ?C ＝1084 【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C －C ＝1084。 例3. 设{a }是由正数组成的等比数列，S 是前n项和。 ①. 证明： 【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。 【解】 设{a }的公比q，则a >0，q>0 ①．当q＝1时，S ＝na ，从而S S －S ＝na (n＋2)a －(n＋1) a ＝－a <0； 当q≠1时，S ＝ ，从而 S S －S ＝ － ＝－a q <0； 由上可得S S ②. 要使 ＝lg（S －c）成立，则必有(S －c)(S －c)＝(S －c) , 分两种情况讨论如下： 当q＝1时，S ＝na ，则 (S －c)(S －c)－(S －c) ＝(na －c)[(n＋2)a －c]－[(n＋1)a －c] ＝－a <0 当q≠1时，S ＝ ，则(S －c)(S －c)－(S －c) ＝[ －c][ －c]－[ －c] ＝－a q [a －c(1－q)] ∵ a q ≠0 ∴ a －c(1－q)＝0即c＝ 而S －c＝S － ＝－ <0 ∴对数式无意义 由上综述，不存在常数c>0, 使得 ＝lg（S －c）成立。 【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明 >log S ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。 35 q D.当a>1时，p>q；当0