（三）均衡存在性和唯一性的证明
定理二：符合上述多期拍卖递归形式的线性均衡定义的a和b的解是唯一的，并且这个唯一解存在的充分必要条件是g(?)??。
证明：见附录三：多期拍卖情况下均衡的结构。
定理三：多期拍卖存在一个唯一的如前文定义的递归形式的线性均衡。定义常数?n，
?，?，?，?，使得：
n
n
n
n
（a）?xn??n?tn(vg(?)? 其中?n?tn?pn?1)
2(1?2?n?n/(g(?)))2?n(1??n?n/(g(?)))22
（b）?n??n?1(v?Pn?1/g(?))??n
(g(?)) 其中，??
4?(1???/(g(?)))n?12nnn222 ?n??n?1??na2?n?tn?u
（c）
pn?pn?1??n(?xn??un)
2 其中?n?g(?)（d）?n?Var(v???/?nnn?12u
，
p/g(?))?Var(v|?xn??un)?n?(1??n??tn)?n?1
n并且，给定?0，常数?n，?n，?n，?n，?n是下列差分方乘的唯一解。
(g(?))??4(1????/(g(?)))n?12nnn2；
???n?n?1?na2??t?nn22u；
??tn?n(1?2?n?n/(g(?)))2?n(1??n?n/(g(?)))222；?n?g(?)2??/?nn2u；?n?(1??n?n?tn)?n?1
并且?N??N?0和?n(1?a?n?n)?0。
证明：见附录四：多期拍卖均衡的求解和唯一性的证明。
（四）多期拍卖均衡结果与Kyle（1985）模型多期拍卖均衡结果的比较
从定理三可以看到，我们的均衡解在结构和形式上与Kyle（1985）模型多期拍卖的均衡解十分相似，比较两个均衡参数之间的关系，我们得到下面的结论。这里用下划线表示
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Kyle模型中的系数，以示区别（具体求解过程见附录五：多期拍卖均衡结果与Kyle （1985）模型多期拍卖均衡结果的比较）。
?n?g(?)?n；?n?g(?)?n；?n??n；
?????t??n?tnn?n/g(?)；?n?g(?)?n?
将上述参数之间的关系代入知情交易者交易指令函数、做市商定价函数以及知情交易者利润函数，得到下面的结果：
第一、溢价函数的加入使得均衡价格成为原来的g(?)倍，即价格上涨幅度等于溢价程度；
第二、溢价函数的加入不影响均衡时知情交易者的交易数量；
第三、由上述两点决定了均衡时知情交易者的利润增加为原来的g(?)倍，这就意味着未知情交易者的损失由于溢价的存在增加了。
（五）b的取值与g(?)取值范围的关系
这里首先需要说明的是，我们对多期拍卖递归形式均衡定义中的条件（iii）是一个比较强的假设，如果放松该条件，即允许存在没有统一形式利润函数的均衡，那么可能会存在b?1和a?1/g(?)之外的均衡。在单期均衡求解过程中，我们遇到了g(?)取值范围有限制的问题，这个情况同样发生在多期均衡求解的过程中。正常的思路应该是求出a与b的显示解，在根据一定的约束条件得到g(?)的取值范围。但正是因为我们无法解出a与b的显性形式，因此我们从两方面来分析b的取值与g(?)取值范围的关系。一方面，根据b的取值确定g(?)的取值范围；另一方面，根据g(?)，讨论b的取值范围。并且，用来求出
g(?)取值范围的约束条件是在bg(?)???0的情况下得到的，因此这里我们只分析bg(?)???0情况下b的取值与g(?)取值范围的关系。
基本结论总结如下，具体计算过程见附录六：b的取值与g(?)取值范围的关系。 在b?1的情况下，要求g(?)?2?b2?b?，而?是大于?的，因此g(?)一定要大于bb?；在b?1的情况下，要求g(?)??。当g(?)??时，要求
2?b2?b?，而?是小于?的，因此g(?)一定要小于bb2?2??b?1；当g(?)??时，要求1?b? 。
g(?)??g(?)??而事实上，g(?)和?都是外生给定的，也就是我们是在g(?)和?大小关系给定的情况下讨论问题。
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三、多期拍卖的序贯均衡的极限
当多期拍卖中两次交易的时间间隔趋于零时，多期拍卖的均衡结果是否会收敛，若收敛那么这个极限是否与连续拍卖均衡结果一致？下面，我们首先计算多期拍卖均衡结果的极限。
定理四：当多期拍卖中两次交易的时间间隔趋于零时，多期拍卖的均衡结果是收敛
2的，其极限结果为：?(t)?g(?)(?0/?u)1/22；?(t)?(?0/?u)?1/21g(?)(1?t)；
?(t)?1/21/211g(?)(?/?2)；?(t)?(?/?2)g(?)(1?t)；?(t)?(1?t)?000uu。 22证明：见附录七：当多期中两次交易间隔时间趋于零时，多期拍卖均衡结果的极限。
四、连续拍卖均衡
（一）均衡的计算
在这一部分我们考虑连续拍卖的线性均衡。我们不再严格证明均衡存在的唯一性，而只是假设线性均衡的唯一性并且仿照多期拍卖序贯均衡的形式定义连续拍卖均衡的部分函数形式，然后求解其他参数值。并且，我们只讨论g(?)??的连续拍卖均衡。
首先仿照多期序贯均衡中知情交易者利润函数、知情交易者交易指令函数和做市商的定价函数，定义：
d?(t)?g(?)[v?p(t)/g(?)?dp(t)]dx(t)?[vg(?)?p(t)]dx(t) dx(t)??(t)[vg(?)?p(t)]dt
dp(t)??(t)[dx(t)?du(t)]
知情交易者的利润函数：
E{?(t)|?p(s)?,v:s?[0,t]}?E{?d?(s)|?p(s)?,v:s?[0,t]}
s?t1有效市场条件：g(?)E{v|?dx?du?:s?[0,t]}?p(t) 定义：?*(t)?E{[v?p(t)/g(?)]}，?(t)?var{v?
2p/g(?)|?dx?du?:s?[0,t]}
t １９
2定理五：在递归形式的连续拍卖均衡中，有：?(t)?g(?)(?0/?u)1/2，是一个常数；
?(t)?(?20/?u)?1/21/21/211122；?(t)?g(?)(?0/?u；?(t)?)(/)g(?)(1?t)；22?0?ug(?)(1?t)?(t)?(1?t)?0。
证明：见附录八：连续拍卖均衡的求解。
（二）均衡的性质
（1）方差的导数是一个常数，这说明知情者的私人信息进入价格的速率是均匀的；在交易结束时，价格方差为零，这说明私人信息以全部进入到价格中。
（2）市场深度在整个过程中不发生变化。 （3）价格的波动是由未知情交易者的交易引起的。
（4）和Kyle（1985）的连续拍卖均衡相比较可以看出，参数的关系与多期拍卖均衡时参数的关系是一致的。
（5）不流通股对均衡的影响与我们对单期拍卖在g(?)??情形下的均衡进行比较静态分析的结论是相同的。
五、多期拍卖序贯均衡极限与连续拍卖均衡的等价性
定理六：多期拍卖序贯均衡极限与连续拍卖均衡是等价的。 证明：（略）。
从定理四与定理五很容易得到这个结论。
第四部分 结论
一、 单期拍卖均衡、多期拍卖的序贯均衡和连续拍卖均衡存在条件的比较
在单期拍卖均衡中，存在g(?)??条件下的均衡解，而在多期拍卖的序贯均衡求解中我们证明了满足均衡定义的解存在的充分必要条件是g(?)??，由于连续拍卖均衡的构建是以多期拍卖为基础，因此也用到了g(?)??的条件。因此，单期拍卖均衡存在性要比多
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期和连续拍卖均衡的存在性更容易实现。
二、 单期拍卖均衡、多期拍卖的序贯均衡和连续拍卖均衡中非流通股?取值范围的比
较
在单期拍卖均衡中我们通过具体例子说明了不流通股的上限是溢价函数溢价程度的增函数。在多期拍卖的序贯均衡和连续拍卖均衡中，由于我们没有得到均衡的显示解，因此无法直接得到非流通股?的确定的取值范围，但是我们对b与?取值范围的关系也进行了一些说明。在单期拍卖均衡和多期拍卖的序贯均衡有一点是共同的，那就是不流通股的取值范围是与求解均衡时某个参数表达式有意义相关的，所以非流通股的取值范围直接决定了均衡是否存在。在求解多期拍卖均衡时，我们注意到，?的取值范围与交易进行的时期无关。
三、 g(?)??条件下均衡结果与Kyle（1985）均衡结果的比较
在分析多期拍卖的序贯均衡时，我们比较了各个参数与Kyle模型中相应参数的关系，这些关系扩展到单期拍卖均衡与连续拍卖均衡都是成立的。从比较的结果可以看出非流通股对拍卖均衡的影响。
在定价规则对资产真实价值的偏离抵消了资产溢价的情况下，有：
第一、市场深度减小，即：单位交易量的变化会引起价格的更大变化，反过来说，要使价格改变只需要较小的交易量变化。这就使操纵股票市场价格的行为变得更加容易；
第二、知情交易者的利润增加为原来的g(?)倍。在我们的模型中，资产市场上的交易实质是一个“零和博弈”，这个结果意味着资产市场中没有信息优势的交易者损失加剧，福利减少；
第三、知情交易者的交易量没有改变。这一点比较容易理解，知情交易者的交易量是由购买单位资产的剩余决定的，当定价规则对资产真实价值得偏离抵消了资产溢价，他购买单位资产的剩余与g(?)??＝1情况下的剩余是相同的，故交易量不会发生改变；
第四、私人信息扩散的速度不变。私人信息是通过知情交易者提交的交易指令扩散的，由于知情交易者的交易量的没有改变，就不会改变私人信息的扩散速度，这也意味着价格的波动情况是一样的；
第五、 很明显的结果，均衡价格是Kyle（1985）模型中均衡价格的g(?)倍。
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