?t)(vg(?)?p)?(b?1)p]??t)(vg(?)?pE?n??[(1?ag(?)???t)v?a(b????t)p]?nnnnnnn?1nnn?1n?1nnn[(1??n?n?12) （50）
??n?1??na2??t?nn22uE?n应该具有?n?1(v?ap?n?1)?2n这样的形式，其中
?n?1??na2?n?tn?u??n。因此上式中的各个系数a、b、?n和?n的取值应该满足给定
222的形式。若记（50）式中v前的系数为kv，vpn?1前的系数为kpv，
p2n?1前的系数为
kp，则应有下式成立： ?a2kkpkv
（51） （52）
pv??2akv
根据（50）式，可以得到kv、kpv和kp的表达式：
kv??n?t[g(?)]nn2(1??n?nn?tn)??n(1?a?n?nn?tng(?))2
（53） （54）
kpv?kp[?(1??n??tn)g(?)?n?tn?(b??n?n?t)??tnnng(?)]?2?n[1?ag(?)?n??tn][ab?a?n??tn]2
??n?tn(b??n?n?tn)??n[a(b??n? n?tn)pn?1] （55）
其中?n?tn的值由（38）式确定。
根据（51）式，有：kp?a代入，整理化简后，得到：
2kv?0，将（53）、（55）、（38）、（42）和（41）式
[?n?tn](1?a(g(?)))?222n(1?a?n?n)?a?n(b?1)＝0
22 （56）
根据（52）式，有：kpv?2akv?0，将（53）、（55）、（38）、（42）和（41）式代入，整理化简后，得到：
[?n?tn](1?ag(?))?（56）式移项有：
22ng(?)(1?a?n?n)?a?n(b?1)?0
2 （57）
[?n?tn](1?a(g(?)))?22n(1?a?n?n)?a?n(1?b)
22 （58）
（57）式移项有：
[?n?tn](1?ag(?))?2ng(?)(1?a?n?n)?a?n(1?b)
2 （59）
我们考虑b?1、a?1的解，用（58）式与（59）式做比值。b?1?0、g(?)21?ag(?)?0，并且由（30）式得到(1?a??)?0，故而分母不为零。推出：
nn ３２
1?ag(?)1?a，进一步得到：1＝0，显然不成立。这就证明了b?1、a?不成立，在均g(?)g(?)衡时，满足我们所要求的三个条件的线性均衡是唯一的，即b?1和a?1/g(?)。
附录四：多期拍卖的序贯均衡的求解和唯一性的证明
在定理三的证明过程中已经包含了多期拍卖序贯均衡部分求解和唯一性的证明。我们已经知道，满足三个条件要求的线性均衡的a和b的解是唯一的，即b?1和a?1/g(?)，并且他们成立的充分必要条件是：g(?)??。下面我们在g(?)??的情况下求解均衡解。
将g(?)??，b?1和a?1/g(?)代入（38）式，得到：
??tnn?(1?2?n?n/(g(?)))2?n(1??n?n/(g(?)))22 （60）
将g(?)??，b?1和a?1/g(?)代入（24）式，得到：
pn?pn?1??n(?xn??un)
（61）
将g(?)??，b?1和a?1/g(?)代入（25）式，得到：
???(v?Pn?1/g(?))??nn?12n （62）
根据利润最大化的求解过程，可以得到：
??(1??n??tn)??tn[g(?)]??n[1??n?n?1nn2 n?tng(?)]2 （63）
和
???nn?1??na2??t?nn22u （64）
定价规则从数学上看是一个后验概率：
p?n=?E{v|(?x1??u1,?x2??u2?,?xn??un)},n?1,2,?,N 记后验方差为:
（65）
n=Var{v?pn/g(?)|(?x1??u1,?x2??u2?,?xn??un)}
（66）
?pn?pn?pn?1=E{vg(?)?pn?1|(x1?u1,x2?u2?,xn?un)}，因为?xn?x?xnn?1，
?pn由第n期的交易量引起，因此独立于?x??u,?x??u?,?x1122n?1??un?1。
???v?pn?1/g(?)?设????，则E???????xnun?0?()0
３３
??11Var(?)???????21??12??n?1?????????tng(?)?n?122??n??tg(?)???t???tg(?)?nnn?12222unnn????n?1?
令Zn??xn??un??n?tn(vg(?)?pn?1)??un
2Z那么??tnng(?)n?(v?pn?1g(?))???tn?ung(?)n?N(0,?u/[?ng(?)]?t2n)
从期望效用公式或者贝叶斯学习过程公式都可以求出：
E{v?pn?1/g(?)|?xn??un}???g(?)??g(?)??t?nn?1222unn(?xn??un)n?1 （67）
因为g(?)??，所以定价规则（65）式可以写做：
ppn=g(?)E{v|(?x1??u1,?x2??u2?,?xn??un)},n?1,2,?,N 将（67）式的结果整理后带入（68）式，得到：
（68）
n?g(?)E{v|(?x1??u1,?x2??u2?,?xn??un)}
2nn?1??g(?) ?p???g(?)??t?n?1222unnnn?1n222(?xn??un)?n?12pn?1??n(?xn??un)
（69）
??g(?)其中????g(?)??t?unn
n?1 （70）
利用贝叶斯学习过程公式计算验后方差：
?n?Var(v?pn?1/g(?))?Var(v|?xn??un)n?12
n?122??u? ??g(?)??t?22unnnn?1n?1
22
1 （71）
??g(?)因为????g(?)??t?n222unnn?12??u?g(?)???g(?)??t?n22unn?n?1?2u
把（71）式带入上式，化简后有：
?n?g(?)??22??/?nn2u （72）
从而可以得出：
?g(?)u2??/?nnn （73）
将（73）式带入（71）式，有：
n?(1??n??tn)?n?1
n
1
2 （74） ，把它代入（63）式，
根据（60）式，可以得到：1??n?n?tn?计算化简后，有：
2(1??n?n/(g(?))) ３４
(g(?)) ??4(1????/(g(?)))n?12nnn2 （75）
我们把上面得到的多期拍卖均衡结果总结如下： （a）?xn??n?tn(vg(?)? 其中?n?tn?pn?1)
2(1?2?n?n/(g(?)))2?n(1??n?n/(g(?)))22
（60）
（62） （75） （64） （61） （72） （74）
（b）?n??n?1(v?Pn?1/g(?))??n
(g(?)) 其中，??
4?(1???/(g(?)))n?12nnn222 ?n??n?1??na2?n?tn?u
（c）
pn?pn?1??n(?xn??un)
2
其中?n?g(?)??/?nn2u
（d）?n?(1??n?n?tn)?n?1
下面需要证明的是由（60）、（75）、（72）、（74）组成的差分方程组有唯一解，它们需要满足的值条件?N??N?0和最大化问题的二阶条件?n(1?a?n?n)?0。对这个结论我们只进行简单的说明，里面的思想与Kyle（1985）中的相应证明十分类似。 从（72）式中解出?n的表达式并将其带入（60）式，得到：
2???t(g(?))?nu2n2n?(1?2?n?n/(g(?)))2?n(1??n?n/(g(?)))22，进一步变形，有：
2?2n?22un(g(?))??tn(1??n?n/(g(?)))?(1?2?n?n/(g(?)))
22 （76）
在（76）式的两侧同时加1，移项化简整理后，得到：
(1???/g(?))?(1????tg(?)?2nunn222nn)?12 (77)
给定?n、?n（77）式?n是关于的三次方程，该方程应该有三个根，但是最大的根和最小的根都不能满足最大化的二阶条件，只有中间的根符合二阶条件的要求。这样从（77）是就得到了?n的唯一解，将这个阶代入微分方程组，用倒推法可以求出其他参数各
３５
个时期的解。从边值条件出发用倒推法得到的微分方程组中只有一个解满足资产真实价值的方差。
这就完成了多期拍卖的序贯均衡唯一性的证明。
附录五：多期拍卖均衡与Kyle（1985）模型多期拍卖均衡的比较
为了便于与Kyle（1985）的模型作比较，我们用下划线表示Kyle模型中的系数，以示区别。在Kyle模型中有与（77）式相对应的式子：
12(1??n?n)(1??2?u?tn/?n)? n2???? （78）
若?n，?n和?n满足（78）式，令，?n?g(?)?n和?n??n代入（78）式中，可以
?????得到(1???/g(?))?(1????tg(?)?2nunn222nn)?1,即，（84）式成立。所以若?n，?n和?n是2???（78）式的解，则（77）式必存在一组解?n，?n和?n，使得?n?g(?)?n，?n?g(?)?n??和?n??n。
?根据（77）式和（78）式的解的关系，我们猜测Kyle（1985）模型的均衡解与我们这里得到的均衡解之间的关系如下：
?n?g(?)?n；?n?g(?)?n；?n??n；
?????t??n?tnn?n/g(?)；?n?g(?)?n。 （79）
?下面验证这个猜想：
将上述关系代入（60）式，化简后得到：
??tnn?1?2?n?n??2g(?)?n(1??n?n)?????n?t?ng(?)，因此?n?tn??n?tn/g(?)成立；
?代入（75）式，化简后得到：
?n?1?g(?)?14?n(1??n?n)????g(?)?n?1?，
因此?n?g(?)?n成立。
?代入（72）式，化简后得到：
?n?g(?)??/n?n??2u?g(?)?n?因此?n?g(?)?n成立。 ，，?代入（74）式，化简后得到：
?n?(1??n??tn)?n?1??n因此?n??n成立。 n，????? ３６