210 22010 5?③函数y?2cosx(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是________、_______
k??k???,1)(k?Z)、x??(k?Z)）； 282853(x?R)的单调递增区间为___________ ④函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x?2?5?,k??](k?Z)） （答：[k??1212（答：(12.正弦定理:
a?b?cabc
====2R(R为?ABC外接圆半径) sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC111S?absinC?bcsinA?casinB=abc?1r(a?b?c)(其中r为内切圆半径) 2224R2?ABC中：A?B?a?b?sinA?sinB?cosA?cosB
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回归教材本源 以不变应万变
若sin2A?sin2B,则A?B或A?B??2 ， 若cos2A?cos2B,则A?B
如：①在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则
AC
的值等于 （答案：2） cosA
②一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) （答案:A） A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里
解析 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠
ACB＝45°，根据正弦定理得
里).
＝，解得BC＝102(海
sin 30°sin 45°
BCAB③在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA25，AB?AC?3． ?25（I）求?ABC的面积；（II）若b?c?6，求a的值．（答案：2，25）
?b2?c2?a2cosA??2bc?a2?b2?c2?2bccosA,??2a2?c2?b2?2213.余弦定理：?b?a?c?2accosB,?cosB?
2ac?c2?a2?b2?2abcosC???a2?b2?c2?cosC?2ab?①(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝(a－b)＋6，
2
2
C＝，则△ABC的面积是( ) (答案:C)
A.3
B.93
2
C.33
2
D.33
π3
sin 2A②(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
sin Cb2＋c2－a225＋36－1637a2＋b2－c216＋25－36
解析 cos A＝＝＝，∴sin A＝， cos C＝＝2bc2×5×6442ab2×4×5
37
2××44137sin 2A＝，∴sin C＝，∴＝＝1.(答案: 1) 88sin C37
814.与三角形有关的常见结论
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(1)面积公式S△ABC＝absin C＝bcsin A＝casin B.(2)三个等价关系：△ABC中，a，b，c222
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分别为A，B，C对边，则a＞b?sin A＞sin B?A＞B 1
如①(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝2，则AC等于( )
2(答案:B) (提示：求出B＝A.5
π3π
或后，注意钝角△ABC)44
C.2
D.1
B.5
②(2015·全国Ⅱ卷)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.
sin B(1)求；
sin C(2)若AD＝1，DC＝2
，求BD和AC的长. 2
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解 (1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
22因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得 sin BAC1
＝＝. sin CAB2
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2.在△ABD和△ADC中， AB＝AD＋BD－2AD·BDcos∠ADB， AC＝AD＋DC－2AD·DCcos∠ADC.
故AB＋2AC＝3AD＋BD＋2DC＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
15. 向量加减法运算及表示： 加减法运算有作图运算以及直接向量化简运算
→→
如：①(2015·全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) （答案：A） 1→4→→→1→4→→4→1→→4→1→
A.AD＝－AB＋AC B.AD＝AB－AC C.AD＝AB＋AC D.AD＝AB－AC
333333331→4→→→→→1→→1→1→
（解析：AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋AC－AB＝－AB＋AC.）
33333
→
②在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO＝→→
λAB＋μBC，则λ＋μ等于( ) （答案：D） A.1
1B. 2
1C. 3
2 D. 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
→→→→1→→→1→→1→1→
（解析：∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC，∴2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC.
3326112
故λ＋μ＝＋＝.）
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16.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：
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①a?b?a?b?0；②当a，特别地，b同向时，a?b＝ab，a?a?a?a,a?22 a；2 b不同向，a?b?0是?当a与b反向时，a?b＝－ab；当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角为锐角的必要非充分条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、的必要非充分条件； ③|a?b|?|a||b|。④平面向量的坐标表示 已知a?(x1y1)
??b?(x2,y2)则a?x?y a?b?x1x2?y1y2⑤两个重要结论
?2121???a//b?有且只有唯一实数?使得a??b(b?0) ?x1y2?x2y1 a?b?a?b?0 ?x1x2?y1y2?0
???????????如①已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是 .（答：?????14或??0且??）；
33②边长为2的等边?ABC中，AB?BC?_______. （注意夹角，答案：?2） ③a?(1,0),b?(1,1),(a??b)?b,则??____（答案：?17.向量b在a方向上的投影为︱b︱cos?＝a?ba?????1） 2
如：如已知a?(?2,1),b?(3,?4)，则a在b方向上的投影为_______(答案:-2) 18.基本定理:e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a??1e1??2e2(?1,?2唯一) 特别：OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B共线的充要条件
如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足OC??????????1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是____（答：直线AB）
19.三角形的重心,垂心,内心,外心的向量表示 在?ABC中，
①PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为
??????3?ABC的重心；②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；
③向量?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心(?BAC的角平分线所在直线)；
|AB||AC| 16