回归教材本源 以不变应万变
如：①若O是?ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC的 形状为____（答：直角三角形）；
120）②若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为 . (答案：
【5月25日复习数列 、不等式】
四、 数列 、不等式
1.用等差，等比数列的基本公式解决基本问题（始终抓住a1,d或q列方程或者方程组解决，知三求二）等差数列中an=a1+(n-1)，an=am+(n-m)d；d=
an?am(n?m)
n?mSn=na1?n(n?1)n-1
d=n(a1?an)，等比数列中an= a1 q， （注意： an?0,q?0）an?amqn?m，22a1(1?qn)a1?anq=（注意求和时对q是否等于1的判断与讨论） 1?q1?q当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=
如①设Sn为等比数列?an?的前n项和，8a2?a5?0，则A．11 B. 5 C. ?8 D. ?11
S5?（ ） （答案：D） S2②设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( ) （答案：A） A.－6
B.－4
C.－2
D.2
③(2014·江西卷)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时
Sn取得最大值，则d的取值范围为________.(答案: ?－1，－?)
8
??
7??
解析 由题意知d＜0且?
?a8＞0，?
?7＋7d＞0，?7
即?解得－1＜d＜－. 8??a9＜0，??7＋8d＜0，
2．基本性质：等差数列中, 数列?an?是等差数列，Sn是其前n项和，则 (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ；特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd ； (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．等比数列中， 当m+n=p+q ，aman?apaq
如:①若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这
17
回归教材本源 以不变应万变
个数列的项数为( ) (答案:A) A.13
B.12
C.11
D.10
②已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 016等于
2 0142 008________.(答案:2 016)
解析①因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146， a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝
S2 014S2 008
n（a1＋an）n·60
2
＝2
＝390，即n＝13.
?Sn?
②由等差数列的性质可得??也为等差数列.设其公差为d.则－＝6d＝6，∴d＝
2 0142 008?n?1.故＝＋2 015d＝－2 014＋2 015＝1，∴S2 016＝1×2 016＝2 016.
2 0161③等差数列{an},{bn}前n项和分别为Sn,Tn，若3．等差、等比数列的判定或者证明
S2 014S2 008
S2 016S1
Sn3n?1a910则??_____（)
7Tn2n?1b9｛an｝等差?an（1）?an?1?d(常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)
｛an｝等比?an（2）?an?1?q(常数)?an?an?1?an?1(n?2,n?N*)
2如：①若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1） 4．涉及到数列中的最大项,可以先考察它的单调性,即看an?1?an的符号 如数列{an}的通项公式为an?n2??n,若该数列递增,则?的范围是____ (答案：???3)
5．求和：（裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.） （1）裂项相消：1?11111?11111???（?） ； ；＝?－?.
nn＋kk?nn＋k?n(n?1)nn+1n(n?2)2nn+21?1?11?111?1
－－＝.；＝????.
n2－12?n－1n＋1?4n2－12?2n－12n＋1?如：已知等差数列{an}前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{1}前100项和为( ) anan?1A.
9910099101 B. C. D. (答案:A)
101101100100 18
回归教材本源 以不变应万变
问题推广：等差数列{an}公差为d, S=
1111+?.........?____ a1a2a2a3a3a4an?1an(2) 错位相减：重中之重，适用与差比型数列。
①已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10。 (1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{前n项和。(答案：an?2?n,Sn?an}的n?12n2n?1)
（3）分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法的几个数列的和求解。 6.求通项常法
(1)已知数列?an?的前n项和sn,求通项an，利用公式an?Sn?Sn?1必须注意这里n?2,要验证n?1满足还是不满足an ①数列{an}满足
11a1?2a2?222
?114,n?1a?2n?5，求（作差法，答案：） aa?nnn2n?1,n?22n?3?(n?1)?2②数列{an}满足a1.a2.a3……an=n+2n，求an（作商法，答案：an??n?2n
(n?2)??n2?1（2）
累加法：若an+1-an=f(n)（f(n)是易求和通项公式如等差、等比、可裂项分式等） 已知数列{an}满足a1?1/2,a 累乘法：若
n+1（3）①
?an?1/(n2?n),求an（答案：.an?3/2?1/n)
（4）
an?1?f(n)（f(n)是易求积公式如可相互约分的分式、指数式等）
an(3)
已知数列满足a1?1/2,an+1=(n/n?2)an,求an（答案：.an?1/n(n?1))
(4)构造法形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列 如①已知a1?1,an?3an?1?2，求an （答案：an?2?3n?1?1）； 7.不等式：
（1）注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，a＜b,则
11?。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 ab②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论.
19
回归教材本源 以不变应万变
如：(1)已知?1?x?y?1，则3x?y的取值范围是___（答案： 1?x?y?3，1?3x?y?7）(2)若当x??3时,不等式x2?ax?1?0恒成立,则a的范围是______ (答案：a?（2）比较大小的常用方法：
（1）作差法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商法：作商后与1进行比较，判断符号得出结果； （3）利用函数的单调性；（4）寻找中间量,与“0”比，与“1”比
如①证明ln(x?1)?x（答案：构造函f(x)?ln(x?1)?x,然后利用单调性求最大 值小于0）