③换元法：如（1）y?2sinx?3cosx?1的值域为_____（答：
的值域为_____（答：3,???）
2x（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。如（1）已知f(1?cosx)?sinx,求fx2x?[?3,3]的最小值。（答：－48）
用2种方法求下列函数的值域：①y???的解析式（答：
23?2x(x?[?1,1])②3?2x11172；（2）若f(x?)?x?2，[?4,]）；（2）y?2f(x2)??x4?2x2,x?[?2,2]）x?1?x?1x8x则函数f(x?1)=_____（答：x?2x?3）；（3）若函数f(x)是定
2?x2?x?3x2?x?3,x?(??,0)；③y?,x?(??,0) （y?xx?1t?0。（令x?1?t，运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；
⑤解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.⑥恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立?a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立?a≤[f(x)]min; ⑦任意定义在R上函数f（x）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f（x）＝g(x)＋h(x) 其中g（x）＝
f（x）＋（－f）x是偶函数，h（x）＝
2f（x）－（－f）x是奇函数
2⑦利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令
y?x或y??x等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）
若
a/q,a/q,aq,aq (为什么？)
?an?an?b(一次)?sn?An?Bn(常数项为0的二次);a,b,A,B??如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求
?an2?an-1?an?1(n?2,n?N)an ｛an}等比????q(定); 此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
an?1an?0?33. 等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、
S4m - S3m、??仍为等差数列。
?an?a1?qn?1?sn?m?m?qn;m??
等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等比数列。
如若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1）
如：公比为-1时，S4、S8-S4、S12-S8、?不成等比数列
28、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)
a?0?an?0问题,转化为解不等式?n,或用二次函数处理;(等比34.等差数列{an},项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an ;
233
(或?)??an?1?0?an?1?0x?R，
f(x) (f满足
y 前n项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{an}是等
项数为2n时，则
S偶S奇?q;项数为奇数2n?1时，S奇?a1?qS偶.
f(?x?)yx35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找
通项结构.
nn
分组法求数列的和：如an=2n+3 、错位相减法求和：如an=(2n-1)2、裂项法求和：如求和：1??f(y)，则f(x)的奇偶性是______
（答：奇函数）；
（2）若x?R，f(x)满足
O 1 2 3 x 差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，a2003?a2004?0，则使前n项和
（答：
11??1?21?2?3?11?2?3??n?
Sn?0成立的最大正整数n是 （答：4006）
29、等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn=na1?n(n?1)n(n?1)n(a1?an)d=nan?d=
222a1(1?qn)a1?anqn-1
等比数列中an= a1 q;当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn==
1?q1?qam?an;当m?n2n）、倒序相加法求和：如① n?1n?(2n?1)Cn?(n?1)2n；②已知
012求证：Cn?3Cn?5Cn?f(xy)?f(?x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：偶函数）；
（3）已知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数，当0?x?3时，f(x)的图像如右图所示，那么不等式f(x)cosx?0的解集是_____________（答：(?x2f(x)?，则
1?x21117f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()＝___（答：）
234236.求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：
?,?1)(0,1)(,3)）；
22??30.常用性质：等差数列中, an=am+ (n－m)d, d??（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,y?R，都有
m+n=p+q,am+an=ap+aq；
n-m
等比数列中，an=amq; 当m+n=p+q ，aman=apaq；
如（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比
x1f()?f(x)?f(y)，且x?1时，f(x)?0，又f()?1，①求
2y证f(x)为减函数；②解不等式f(x)?f(5?x)??2.（答：
??0??1a??2
①an+1-an=????0 如an= -2n+29n-3 ②n?1????1
an??0??1??q是整数，则a10=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{an}9n(n?1)(an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 n10如an=
lg中，若a5?a6?9，则o31aol?g32a?olg?301a? （答：10）。
?0,1??）． 4,?5S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2,n?N*)31.常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、? 注意验证a1是否包含在an 的公式
n 2n?156三、数列、 26、an={
?1??an?a?、{anbn}、??等比;{an}等差,则?c?(c>0)成?bn??bn?n求通项常法: （1）已知数列的前n项和sn,求通项an，可利用?S1 (n?1)an???Sn?Sn?1 (n?2) 公式:
中。
27、｛an｝等差?an?an?1?d(常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*中项)
等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c?1)等差。
32.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：
11如：数列{an}满足a1?2a2?221?nan?2n?5，求an（答：2??x??)?b（??0,A?0）①五点法作图;②振幅?39、函数y=Asin(相位?初相?周期T=
14,n?1an?n?1）
2,n?2（2）先猜后证（3）递推式为an＋1＝an＋f(n) (采用累加法)；an＋1＝an×f(n) (采用累积法)；
如已知数列{an}满足a1?1，an?an?1??2??,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时偶函数.
2?43、重要公式： sin2??1?cos2?；cos2??1?cos2?．；
22③对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比. 如（1）
?1?cos?sin?1?cos?;1?sin??(cos??sin?)2?cos??sin? tan????21?cos?1?cos?sin?2222?5???2x?的奇偶性是______（答：偶函数）函数y?sin?；（2）已知2??函数f(x?)a?xb3sin?1x为常,数，且f(5)?7，则(ab）