方向垂直dA面，对dP的投影进行积分，即可求出Ｐ的投影分力Px、Pz，然后合成。推导如下，dP＝γhdA 其x轴方向（即水平方向）和y轴方向（即垂直方向）的投影分量为
dPx＝γhdA·cosθ＝γhdAx dPz＝γhdA·sinθ＝γhdAz dPx、dPz为平行力系，可积分求合力： 水平分力：Px?dPx????hdA
xA由上式可知，此积分意义为垂直矩形受压面Ax的静水总压力，即： Px=γhcAx 或Px=bΩx(Ωx为垂直面Ax上的压强分布图面积) 垂直分力：Pz?dPz????hdAAz???bd?z??b?z 或Pz=γVz
可见在水平方向的分量Ｐx，其计算方法同前面的矩形平面，垂直方向分量Ｐz可用压力体求解。Vz=bΩz称为压力体，它是由二向曲面周边向上作铅垂面，与自由液面或其延长面所围成的体积。Ｐz等于压力体内液体的重量，其作用线通过压力体内液体的重心，对均质液体则通过其形心Ｃ。 Ｐz的计算关键是如何确定压力体的面积Ωz。
关于Ｐz的方向，由图可知，当压力体内无水（或压强与压力体在曲面AB两侧），称为正压力体，Ｐz方向向上；反之，称为负压力体，Ｐz向下。上述结论应与曲面上压强方向相联系来理解。
由Ｐx和Ｐz可以求出二向曲面静水总压力Ｐ的大小和方向：
P?Px2?Pz2 方向??arctanPz Px式中α为P与水平线的夹角。
压力中心Ｄ点位置，可以通过Ｐx、Ｐz矢量合成求出Ｐ的作用线，该线与二向曲面的交点即为压力中心Ｄ。
第三章 水动力学理论基础
《水动力学理论基础》授课学时为6个学时，其中第一、二、三节为2个学时，第四、六、七节为2个学时，第八、九节为2个学时，第五节和第十节不作要求。实验学时为2个学时，实验内容为水流能量转换试验。
基本要求：①理解描述流体运动的两种方法，流线和迹线的概念，掌握恒定流与非恒定流、均匀流与非均匀流、渐变流与急变流的定义及其区别。 ②熟练掌握连续方程，能量方程，动量方程的基本形式，物理意义和应用条件，能单独或联立上述方程分析和解决具体的流体力学问题。
基本概念：⑴拉格朗日法 ⑵欧拉法 ⑶时变加速度 ⑷位移加速度 ⑸恒定流、非恒定流 ⑹一元、二元、三元流 ⑺有压流、无压流、射流 ⑻流线 ⑼迹线 ⑽流管 ⑾元流 ⑿总流 ⒀过水断面 ⒁湿周 水力半径⒂流量 ⒃断面平均流速 ⒄均匀流、非均匀流 ⒅渐变流 ⒆急变流 ⒇位置水头、压力水头、流速水头、测压管水头、总水头、水头损失 (21)水力坡度
重点掌握：⒈欧拉法描述水流运动的思想，流线的概念 ⒉恒定与非恒定流，均匀与非均匀流，有压流与无压流的概念 ⒊熟练掌握恒定总流的三大方程式（质量、能量、动量），
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特别是能量方程式，是水流的能量守恒方程式，要彻底理解方程式中各项的水力学意义，即各种水头的水力学意义。
详细内容：
液体流动时质点间发生位移、液体变形，在克服内摩擦力的同时消耗自身的机械能。动水压强的性质和分布规律也与静水不同，就性质而言，动水压强的大小和方向有关，为简化和实用起见，水力学采用了平均值的概念，即以三个坐标方向压强的平均值作为该点动水压强，因此动水压强又与方向无关而具标量性质。
水动力学理论是研究液体运动要素之间的内在联系及其随时空变化的规律。
第一节 研究液体运动的两种方法
研究方法对液体运动规律的研究，是十分重要的。目前有两种研究方法，即拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法
拉格朗日法是从研究每个液体质点运动规律出发，而获得液流总体的运动规律，此法为熟知的质点系法。
由拉格朗日法可以得出质点运动的迹线。
欧拉法
欧拉法是研究液体运动空间各点运动要素的变化规律，是通过研究运动要素场的变化来获得液体运动规律。
运动要素是坐标和时间的函数，以流速为例，若令x、y、z为常数，t为变数，则可求得在某一固定空间点上，液体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况；若令t为常数，x、y、z为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的液体质点的流速的分布情况。加速度应当是坐标和时间的复合函数
ax?
dux?uxdt?uxdx?uxdy?uxdz?ux?x?x?x??????????uxx?uyx?uzxdt?tdt?xdt?ydt?zdt?t?x?y?z等号右侧第一项表示某点流速随时间的变化率，称为时变加速度；其他各项则表示因坐标位置的改变而产生的加速度，称为位移加速度，这表明某点的加速度是时变和位移加速度之和。注意，我们以前对加速度的概念没有位移加速度，因为我们以前研究的是质点或刚体的加速度，是与拉格朗日的概念相同；而我们现在是用欧拉法研究空间点的加速度。
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第二节 液体运动微分方程式、连续性微分方程式
非粘性液体运动微分方程式
由水静力学知，当微分正六面体受力不平衡时，必然产生加速度，故推导的静止微分平衡方程式变为下列形式：
X??u?x?x?x1?p?ax?x?uxx?uyx?uzx ??x?t?x?y?z由y、z方向亦可例出类似方程。
粘性液体运动微分方程式
对粘性液体来说，作用在微分正六面体的力，除质量力和动水压强外，还应有内摩擦切
应力。下面直接给出在不可压缩条件下，粘性（实际）液体的运动微分方程式，此方程式又称纳维－司托克斯方程。
液体运动连续性微分方程式
如要使方程式封闭，必须补充一个方程式。此方程式由质量守衡定律推出。取一微分正六面体，形心处流速u的投影为ux、uy、uz。设流体为恒定不可压缩（ρ=常数），则在dt时段内流入和流出六面体的液体质量相等。
由此即可推出恒定不可压缩液体的连续性微分方程式。其方程为
?ux?uy?uz???0 ?x?y?z第三节 液体运动的分类
恒定流与非恒定流
恒定流与非恒定流的区别，在于运动要素的变化是否与时间有关。
恒定流：运动要素均与时间无关，仅为坐标的函数。即公式中对时间求偏导的式子 皆为零。
非恒定流：运动要素变化与时间有关。
一元、二元、三元流动
一元流：运动要素仅随一个坐标或流程Ｓ而变化时，称为一元流。如很长的管道中的水流。
二元流：运动要素为两个坐标的函数时，称为二元流或平面运动。如溢流坝的泄流，沿坝轴线方向运动要素不变。
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三元流：运动要素为三个坐标的函数时，称为三元流或空间运动。
有压流、无压流和射流
有压流：水流过水断面周界全部为固体边界所限定时，称为有压流。如管流。 无压流：水流过水断面部分被固体边界所限，并且具有自由表面，这种情况称为无压流。如渠道水流。
射流：过水断面周界全部与液体（水或空气）相接触时称为射流。如高压水枪。
第四节 液体束状流动基本概念
流线
本章一开始，我们就讲了描述液体运动有两种不同的方法，即拉格朗日法和欧拉法。拉格朗日法是研究个别液体质点在不同时刻的运动情况，欧拉法是考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况，前者引出了迹线的概念，后者引出了流线的概念。
某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，即迹线就是液体质点运动时所走过的轨迹线。
按欧拉法，在流速场中任一点，如Ａ点可以引出一条代表各点流速方向的曲线，此线即为流线。流线与迹线不同，它是某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。所以流线表示出了瞬间的流动方向，或者说，在流线上某点的切线方向就是该点的流速方向。流线的确定方法如下：
设在某时刻t1流场中有一点A1，该点的流速向量为u1如图，在这个向量上取与A１相距为Δs1的点A2；在同一时刻，A2点的流速向量设为u2，在向量u2上取与A2点相距为Δs2的点A3；若该时刻A3点的流速向量为u3，在向量u3上再取与A3相距为Δs3的点A4，??如此继续，可以得出一条折线A1、A2、A3、A4??，若让所取各点距离Δs趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是t1时刻通过空间点A1的一条流线。同样，可以作出t1时刻通过其他各点的流线，这样一族流线就反映了t1时刻流场内的流动图象，如果水流为非恒定流，当时刻变为t2时，又可以重新得到在t2时刻的一族新的流线，反映流场流动图象的流线也就改变了。所以对于非恒定流，流线只具有瞬时的意义。
流线具有如下基本特征：
①恒定流时，流线的形状和位置不变，非恒定流时则与此相反。
②恒定流时流线与迹线重合。 解释如下：如图，假定A1、A2、A3、A4近似代表一条流线，在时刻t1有一质点从A1开始沿着u1运动，t2时刻到达A2，但恒定流流线形状、位置均不改变，故质点到达A2点后沿u2方向运动，以此类推，质点沿着A1、A2、A3、A4运动，即沿着流线运动，故流线与迹线重合。
③流线为一条光滑曲线，它不能折曲、分叉或相交，否则有悖于流线的定义。
流管、元流和总流
流管：在流场中任取一微分面积dA，由面积dA的周边各点引出的流线形成一管状曲面，即为流管。
元流：充满流管的一束液流称为元流或微小流束。按照流线不能相交的特性，微小流束内的液体不会穿过流管的管壁向外流动，流管外的液体也不会穿过流管的管壁向流束内流
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动。由于微小流束的横断面积是很小的，因此元流过水断面上各运动要素的分布可看作是均匀的，所以元流是一维流动。
总流：水流的整体或全部元流的汇合称为总流。也就是说，一定大小尺寸的实际水流就是总流。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。
过水断面、湿周、水力半径、流量和平均流速
过水断面：与元流和总流流线垂直正交的断面称为过水断面，分别以dA和A表示其面积，称为过水断面面积。过水断面可为平面或曲面。当流线互相平行时，过水断面为平面，否则就为曲面。
湿周：过水断面周界上具有内摩擦力存在的部分称为湿周。通常仅考虑水流与固体接触的周界长度为湿周，以χ表示。所以，湿周就是在过水断面上水流与固体边界接触的长度。举例：
水力半径：过水断面与湿周之比称为水力半径，以Ｒ表示，即R=A/χ 水力半径的大小表示在过水断面相等条件下，湿周对水流阻力的影响程度。水力半径越大，相同过水断面下，周界对水流阻力越小。
流量及平均流速：
1. 流量指单位时间流过过水断面的液体体积，以Ｑ表示，常用单位为m3/s。
设在总流中任取一元流，其过水断面积为dA，其上各点流速可认为相同，设为u，因过水断面垂直于水流方向，故单位时间内通过过水断面dA的液体体积为：udA=dQ，
dQ即为元流的流量。故总流流量应等于无限多个元流的流量之和，即总流流量为：
Q??dQ??udA
A2. 断面平均流速：计算总流的流量时需要知道断面的流速分布，而一般情况下流速分布都较复杂，难以积分，而且在实际应用中，有时并不一定需要知道流速分布，只要了解断面的平均流速，因此引入过水断面上流速的平均值概念， 其定义为v?流流量为：Q=Av
Q 由此可得总A均匀流、渐变流和急变流
根据流线分布形状沿流程的变化，可以将水流分为均匀流和非均匀流。
均匀流：流线为相互平行的直线，它为水流运动最简单的情况。恒定流是相对于时间的概念，而均匀流是相对于空间的概念。直径不变的直线管道中水流就是典型的均匀流的例子。均匀流的主要特性为：
1. 过水断面为平面，其大小和形状沿流不变。
2.
过水断面上流速分布，同一条流线上各点的流速，以及断面平均流速均沿流不变。
3. 过水断面上动水压强的分布规律与静水压强的分布规律相同。即沿水深为直线分布。这一特性书上有证明。
非均匀流：与均匀流相对应，当水流的流线不是相互平行的直线时，即为非均匀流。对非均匀流来说，可以根据流线间夹角α和曲率半径R的大小，将非均匀流分为渐变流和急变流。
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