1. 渐变流：当流线间夹角很小、曲率半径很大时，称为渐变流。
2. 急变流：急变流与渐变流不同，流线间夹角大或者曲率半径小，在宏观上就是水流变化比较剧烈，此时水流位移加速度及其所产生的惯性力不能忽略，因而过水断面上动水压强不按静水压强规律分布。例如书中p.50图3—13。实际水流见图3—14。
第五节 系统、控制体及控制体方程
不要求
第六节 不可压缩、恒定总流连续方程式
液体运动必须遵循质量守恒的普遍规律，液流的连续性方程式就是质量守恒定律的一种特殊形式。现推导如下：
今在恒定流中取出一段微小流束来研究。令过水断面1—1的面积为dA1，过水断面2—2的面积为dA2，相应的流速为u1与u2 如图。由于恒定流中微小流束的形状和尺寸是不随时间而改变的，且通过微小流束的侧壁没有液体流入或流出。有质量流人或流出的，只有两端过水断面。
在dt时段内，从1—1断面流入的液体质量为ρ1u1dA1dt，从断面2—2流出的液体质量为ρ2u2dA2dt。由于液体是不可压缩的连续介质，ρ1=ρ2=ρ，根据质量守恒定律，在dt时段内流入的质量应与流出质量相等，即： ρu1dA1dt=ρu2dA2dt
化简得 u1dA1=u2dA2 或写作 dQ＝u1dA1=u2dA2 上式就是不可压缩液体恒定一元流微小流束的连续性方程。若将上式对总流过水断面积分
?QdQ??u1dA1??u2dA2 得Q=A1v1=A2v2 即：Q1=Q2
A1A2上式就是恒定总流的连续性方程。式中v1及v2分别为总流过水断面A1及A2的断面平均流速。该式说明，在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面所通过的流量相等。也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流走多少流量。
将连续性方程移项，得 v2/ v1=A1/A2
上式说明，在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面，其平均流速的大小与过水断面面积成反比。断面大的地方流速小，断面小的地方流速大。
连续性方程是水力学上三大基本方程之一，是用以解决水力学问题的重要公式，它总结和反映了水流的过水断面面积与断面平均流速沿流程变化的规律性。
对于分叉的管流，以分叉处为结点，则流入结点和自结点流出的流量之和为零。即：
?Q?0 如图所示，
则其连续性方程为：Q2+Q3－Q1=0 即 Q1= Q2+Q3 或 v1A1=v2A2+v3A3
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第七节 不可压缩恒定流能量方程式
能量方程是水流运动必须遵循的另一个最基本的方程。能量的转化与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律，水流能量方程则是这一普遍规律在水流运动中的具体表现。从质量守恒定律推出的连续方程固然是水流必须遵循的基本规律，但它只给出了流速和过水断面之间的关系，是一个运动学方程。由于水流运动的过程就是在一定条件下的能量转化过程，因此流速与其他因素之间的关系可以通过分析水流的能量关系得出。先从最简单的理想液体元流情况入手。
理想液体（非粘性液体）元流能量方程式
今在理想液体恒定流中取一微小流束，并截取1－1、2－2断面之间的ds流段来研究。流段ds可看做横截面积为dA的柱体。沿其轴向受力有
① 表面压力pdA (p??pds)dA ?s② 重力 dG·cosθ=γdAds·cosθ 由牛顿第二定律：
pdA?(p??pds)dA??dAdscos???dAds?ax ?sdu?u?u??u?对于恒定流dt?t?s式中θ为dG与ds的夹角。又cosθ=dz/ds，加速度as??u?u?0，所以as?u?，代入方程中，并且两边同除以γdAds，得出单位液重的关系 ?t?tdz1dpudu?????0 ds?dsgdsdpu2pu2化简得 (z??)?0 即：z???常数 （沿流程S)
ds?2g?2g对微小流束上任意两个过水断面有：
2u12p2u2 z1???z2???2g?2gp1液体中某一点处的几何高度z代表单位重量液体的位能，p/γ代表单位液重的压能。在
运动的液体中，液体还存在动能1/2·mu2，单位液重的动能为u2/2g。三项能量之和为单位液重的机械能。
结论：在微小流束内，不可压缩理想液体恒定流情况下，单位液重的机械能沿流可以相互转化，但总量保持不变。
实际液体（粘性液体）元流能量方程式
对于实际液体，由于存在粘滞性，运动时产生内摩擦力，单位液重的液体，由1－1断面流至2－2断面，必须克服内摩擦阻力而作功，同时要消耗机械能为代价（变为热能等转
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换掉），因此实际粘性液体的机械能沿流并不守恒，而是沿程不断减少
2u12p2u2即 z1? ?＞z2???2g?2gp1如将1－1、2－2断面间的机械能损失以hw’表示，则得出实际液体元流机械能平衡方程式：
2u12p2u2' z1???z2???hw?2g?2gp1实际液体总流能量方程式
上式是元流能量方程式，是微分的概念，而总流是由无限个元流组成的，对元流进行积分即可得出实际液体总流能量方程式。
设微小流束的流量为dQ，每秒钟通过微小流束任何过水断面的液体重量为γdQ，将各项乘以γdQ，则由原来单位液重的微小流束能量关系转变为实际重量微小流束的能量关系，将其分别在总流的两个过水断面A1及A2上积分，（dQ=u1dA1=u2dA2）即：
2u12p2u2 ?(z1??)?u1dA1??(z2??)?u2dA2
A1A2?2g?2gp1上式具有三种积分类型，下面分别讨论：
１. 第一类积分：
?A(z?p?)?udA???(z?p?)dQ
只有在所取断面上水流为均匀流或渐变流时，则在过水断面上z+p/γ为常数，积分才有可能。 所以
?A(z?p?)?udA???(z?p?)dQ?(z?p?)?Q
u2?3２. 第二类积分：??udA?udA ?A2g2g它为每秒钟通过过水断面A的液体动能的总和。由于流速u分布复杂，无法积分，故采用断面平均流速v来代替u，由于u的立方和大于v的立方和，即：
?Au3dA＞?v3dA
A3故不能直接把动能积分符号内的u换成v，而应乘以修正系数α才能使之相等。即：
?udA???v3dA??v3A
3udA?式中??＞1，称为动能修正系数，其值取决于过水断面流速分布，分布越均匀，α
v3A值越接近于1，在渐变流时，一般取为α＝1.05~1.10，为计算方便，常取为α≈1.0
３. 第三类积分
?Q'hw?dQ
引入单位液重平均机械能损失hw的概念，即：
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hw则：
??Q'hw?dQ?Q
?Q'hw?dQ?hw?Q
将上述三类积分代入，两边同除以γQ，得单位液重的总流能量方程：
Z1?p1???1v122g?Z2?p2??2?2v22g?hw
此为单位液重总流能量方程式，又称伯努利（Bernoulli）方程，它在水力学中应用最为广泛。应用时必须注意满足下列条件：⑴恒定流 ⑵不可压缩 ⑶质量力仅为重力 ⑷1－1、2－2过水断面应为均匀流或渐变流，但1－1、2－2断面之间可以是急变流。
总流能量方程与微小流束的能量方程相比，形式相同，但不同的是在总流能量方程中的动能
?v22g项是用断面平均动能来表示的，而hw则代表总流单位重量液体由一个断面流至另
一断面的平均能量损失。
第八节 伯努利方程各项意义及图示
伯努利方程各项意义
恒定总流的能量方程也称为伯努利方程，它是能量守恒定律在水力学中的具体表现，是水力学的三大方程之一，在水力学应用非常广泛。下面对能量方程进行进一步的讨论。
１. 能量意义
z―对水平基准面0－0的位置势能，简称位能； p/r－由于液体的压强产生的压力势能，简称压能；
?v22g －由于液体的运动产生的动能；
hw－由于液体的粘滞性，水流克服内摩擦力做功而产生的机械能损失。 又z+p/r－总势能。
以上各项都是对单位重量的液体而言的。 若令 E?Z?p???v22g 表示单位液重的总机械能, 则伯努利方程可简写为：
E1=E2+hw
２. 水力学意义
由于伯努利方程各项均为长度量纲，故可用高度表示其各项值的大小，称为水头。则
Z—位置水头（以基准面0—0为基准） p/r—压力水头 hw—水头损失
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z+p/r—测压管水头 令 H?Z?H1=H2+hw
p???v22g 称为总水头，则伯努利方程可写成：
恒定总流能量方程的图示
Z1?p1??1v122g??Z2?p2??2?2v22g?hw
由于水头的量纲为长度，故上式中各项水头的沿流变化，可用几何图形表示出来，通过基准面0－0、位置水头线（z－z）、测压管水头线（p－p）和总水头线（H－H）可以将各项水头或运动要素的沿流变化清晰地显示出来。对于非粘性液体而言，因为不存在水头损失，故其总水头线为一水平线；而实际液体的总水头线为一单调下降的空间曲线；测压管水头线和位置水头线，根据具体情况而定，可为升降曲线或直线。
为了研究水流内摩擦阻力或水头损失的规律，了解沿程哪些位置单位长度的水头损失大，对实际流体总水头线引入了水力坡度Ｊ的概念。其定义为：J??式中dH为微分流段的总水头差。
水力坡度（比降）表示单位流程的水头损失，由于dH=H2－H1为负值，故在式前加负号使Ｊ为正值。
dHdhw? dsds伯努利方程应用条件
在解决大量实际水力学问题中，广泛应用恒定总流能量方程式，从该方程的推导过程中
可以看出，应用时应满足下列条件：
1.水流必须是恒定不可压缩的连续介质。 2.作用于液体上的质量力只有重力。
3.在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流条件，但在所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。
4.在所取的两过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。 为了在应用能量方程时使计算简便和不致发生错误，应注意以下几点：
1.首先选取基准面和两个过水断面，两个过水断面1－1、2－2断面必须选在渐变流位置上，基准面的选择是可以任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须选取同一基准面。一般基准面选在1－1、2－2断面的下方，使z为正，便于计算。
2.能量方程中p/r一项，可以用相对压强，也可以用绝对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。一般采用相对压强即可。
3.在计算过水断面的测压管水头z+p/r值时，可以选取过水断面上任意点来计算，因为在渐变流的同一过水断面上任何点的z+p/r值均相等，具体选择哪一点以计算方便为宜。一般管流可取管轴线，明渠流可取水流表面。
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