专题九 不等式
一、考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 二、考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 三、命题热点
高考对该部分主要从以下几个方面考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。 四、知识回顾
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.
（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质
（1）a?b?b?a（对称性）
（2）a?b,b?c?a?c（传递性）
（3）a?b?a?c?b?c（加法单调性）
（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减） （6）a.?b,c?0?ac?bc
（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）
（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）
(9)a?b?0,0?c?d?ab?cd（异向不等式相除）
(10)a?b,ab?0?11（倒数关系） ?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则） （12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）若a?R,则|a|?0,a2?0
（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 ab?a?b.（当仅当a=b时取等号）
2极值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,则：
1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○
2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc（当仅当a=b=c时取等号） 3ba(5)若ab?0,则??2（当仅当a=b时取等号）
ab(6)a?0时，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a
（7）若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么
a?ba2?b2（当仅当
?ab??.1122?ab2a=b时
取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
2222a?ba?ba?ba?b22特别地，ab?(（当a = b时，()?)??ab）
2222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等) 33??22?...?an??幂平均不等式：a12?a221(a1?a2?...?an)2 n注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).
1111111常用不等式的放缩法：①???2???(n?2) nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?1?n?n?1(n?1)
（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;则2222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa当且仅当1?2?3???n时取等号b1b2b3bn
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有
f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2)
)?.22则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ○1
?f(x)?0????定义域
f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?g(x)? ○2f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?0f(x)?0 ○3或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]?f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]（4）.指数不等式：转化为代数不等式
af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)
af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?（6）含绝对值不等式
1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化 ○
g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)?
g(x)?0?|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)
注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)2?1124 ?2x(1?x)(1?x)?()3?2232722x2(1?x2)(1?x2)123423②y?x(1?x)?y? ?()??y?2232792类似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx)，③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号，故取等)?222xxx
7、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
(一)二元一次不等式表示的区域
对于直线Ax?By?C?0(A>0)
当B>0时, Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0上方区域; Ax?By?C?0表示直线Ax?By?c?0的下方区域.
当B<0时, Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0下方区域; Ax?By?C?0表示直线Ax?By?c?0的上方区域.
（二）线性规划
(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次
不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.
(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（x1,y1）和（x2,y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.
五、典型例题
例1 在ΔABC中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：
??≤B＜. 32这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于
另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.
2
简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA·tgc?tgB=tgA·tgc
tgB=tg(π-(A+C))=-∴tgA+tgC=tgB(tgB－１) ∵tgA+tgC≥2tgA?tgC=2tgB 即 tgB-1≥2
∴tgB≥3 ∵B≥
2
2
tgA?tgC
1?tg2B? ?? 3这里，抓住了tgB=tgA·tgC这一相等关系及tgB=-
2
tgA?tgC隐含关系.通过tgA+tgC
1?tgA?tgC≥2tgA?tgC这一恒成立的不等式得出关于tgB的不等式，求解即得结论.
b)“不等”向“相等”的转化.
ⅰ)由实数理论知：若a≥b且a≤b则必有a=b，这是由“不等”变为“相等”的典型
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模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)≤0及隐含条件(x-y)≥0可以导出(x-y)２＝0
ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y＞0?y＞-x可含y=-x+t，这里t＞0，从而把x,y的“不等”关系转化为某种“相等”关系.
２
例2 已知a、b、c?R，函数f(x)=ax＋bx+c，g(x)=ax+b，当-1≤x≤1时，f(x)≤1 (1)证明：｜c｜≤｜
(2)证明：当｜x｜≤1时，｜g(x)｜≤2
(3)设a＞0，当｜x｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).
本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.
已知告诉我们：对一切x?［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a、b、c相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.
简解如下：
∵a＞0，∴g(x)=ax+b是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max=g(1)
即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) ①?
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1 ∴c=f(0)=-1
∵当-1≤x≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)
∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-2
b=0，即b=0代入①得a=2 2a∴f(x)=2x-1
2.“相等”与“不等”的构造 从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.
a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：
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途径：①利用重要不等式：ⅰ)a+b≥2ab
＋
ⅱ)a、b、c?R，
a+b≥2ab，a+b+c≥33abc ⅲ)
ba+≥2(a、b＞0)等等 ab②利用函数单调性：f(x)是区间I上的增函数，若x1、x2?I，则f(x２)＜f(x１)；f(x)是区间I上的减函数，若x1、x2?I，则f(x1)＞f(x2)；