?n?64?16，?长度最小的区间为[2,16]， n当ai?[2,16](i?1,2,?,m?1)时，与解法1相同分析，得m?g(2)?g(16)， 解得m?136． 3后面解题步骤与解法1相同（略）． 6. 已知函数f(x)?lg(ax?bx)(a?1?b?0) （1）求y?f(x)的定义域；
（2）在函数y?f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴； （3）当a、b满足什么条件时，f(x)在(1,??)上恒取正值。
xxx解：（1）由a?b?0得()?1，且a?1?b?0，得
aba?1，所以x?0，即f(x)的定b义域为(0,??)。
（2）任取x1?x2?0,a?1?b?0，则a1?a2,b1?bxxxxxxxx2，所以a1?b1?a2?bxxxx2?0，
即lg(a1?b1)?lg(a2?b2)，故f(x1)?f(x2)。所以f(x)在(0,??)为增函数；假设函数y?f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，使直线平行于x轴，则。这与f(x)是增函数矛盾。故函数y?f(x)的图象上不存在不同的两点使x1?x2,y1?y2过两点的直线平行于x轴。
（3）因为f(x)是增函数，所以当x?(1,??)时，f(x)?f(1。)这样只需
f(1)?lg(a?b)?0，即当a?b?1时，f(x)在(1,??)上恒取正值。
?1?an2?an7. 已知正项数列?an?的前n项和sn?，bn??1??(n?N*)．
2a2n??（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）定理：若函数f(x)在区间D上是凹函数，且f?(x)存在，则当x1?x2(x1,x2?D) 时，总有
anf(x1)?f(x2)?f?(x1)．
x1?x2n?1请根据上述定理，且已知函数y?x(n?N*)是(0,??)上的凹函数，判断bn与bn?1的大小； （Ⅲ）求证：
3?bn． 2a12?a1?a1?0或a1?1． 解：（Ⅰ）n?1时，a1?s1?2由于?an?是正项数列，所以a1?1． 当n?2时，
an2?anan?12?an?1an?sn?sn?1??，
22整理，得an?an?1??an?an?1??an?an?1?． 由于?an?是正项数列，∴an?an?1?1．
∴数列?an?是以1为首项，1为公差的等差数列． 从而an?n，当n?1时也满足．
∴an?n（n?N）．
*1??（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn??1??．
2n??对于(0,??)上的凹函数y?xn?1n，有y???n?1?x．
nx1n?1?x2n?1?(n?1)x1n． 根据定理，得
x1?x2nn?1整理，得x1???n?1?x2?nx1???x2．
令x1?1?11,x2?1?，得(n?1)x2?nx1?1． 2n2(n?1)nn?11??1??nn?1∴x1?x2，即?1?????1?2n2n?1??????．
∴bn?bn?1． （Ⅲ）由（Ⅱ），得bn?bn?1???b2?b1?8. 设函数f（x）=
3． 21?x?lnx在[1+，∞)上为增函数. ax （1）求正实数a的取值范围. （2）若a=1，求征：
11111111（n∈N*且n≥2） ??????lnn?n??????234n234n?1ax?1?a?0? ax2解：（1）由已知：f?(x) = 依题意得：
ax?1≥0对x∈[1，+∞)恒成立 ax2 ∴ax－1≥0对x∈[1，+∞)恒成立 ∴a－1≥0即：a≥1 （2）∵a=1 ∴由（1）知：f（x）=
1?1?x?lnx在[1，+∞)上为增函数， xnnnn1 ∴n≥2时：f（）=n?1?ln?ln??f?1??0
nn?1n?1n?1nn?1 即：
∴
1n?ln nn?1111123n??????ln?ln???ln?1nn 234n12n?1设g（x）=lnx－x x∈[1，+∞)， 则g?(x)?∴g′（x）在[1+∞)为减函数 ∴n≥2时：g（即：ln
1?1?0对x?[1,??)恒成立， xnnn）=ln－ 1综上所证： 111111?????lnn?n?????（n∈N*且≥2）成立. 23n23n?19. 已知数列?an?满足a1?1,an?（1）求数列?an?的通项公式； 4an?1?n?2?. kan?1?1（2）当1?k?3时，证明不等式：a1?a2???an?解：（1）当n?2时，因为an?3n?8k. k4an?11kan?1?111k????，所以，所以 kan?1?1an4an?14an?141k1?1k??????.因此： an34?an?13?① 当k?3时，数列??1??1?是各项为0的常数列，所以an?1. ?an??1k?1k??是以1?为首项，为公比的等比数列，所以 43?an3?n?1② 当1?k?3时，数列?1k?k??1????1????an3?3??4?3?4n?1，所以an?.又a1?1适合此式，因此 k?4n?1?3?k3?4n?1an?n?N*?. ?n?1k?4?3?k3?4n?1n?N*?. 综①②，得an??n?1k?4?3?k3?4n?133?4n?133k?9*n?N（2）由an?，得. a??????nk?4n?1?3?kkk?4n?1?3?kkkk?4n?1?3?k??因为1?k?3，所以 an?33k?91??kkk?4n?13k?911，所以?0,?n?1n?1kk?4?3?kk?43k?91?2?n?1， k43n?8k?3??3?3????a1????a2??????an???8 kk??k?k???所以a1?a2???an?n4?k?3???1??4?k?3?4?2k?3??k?1?3k?9?11???1?????8??1??8??8???????k2?44n?1?k2k2k2???4???. 因为1?k?3，所以 10. 已知数列?an?满足a1?1,an?（1）求数列?an?的通项公式； （2）证明不等式：a1?a2???an?解：（1）当n?2时，因为an?4?2k?3??k?1?k2?0，因此不等式a1?a2???an?3n?8k成立. k4an?1?n?2?. 2an?1?13n?16. 24an?112an?1?1111????，所以，所以 2an?1?1an4an?14an?12?12?121?12?11?????.因此数列???是以为首项，为公比的等比数列，所以an34?an?13?43?an3?121?1?????an33?4?n?1， 3?4n?13?4n?1*a?n?N所以an?.又适合此式，因此a?1??. n12?4n?1?12?4n?1?13?4n?1n?N*?. 综①②，得an??n?12?4?13?4n?133?4n?13?3*n?N（2）由an?，得. a??????n2?4n?1?122?4n?1?1222?4n?1?1??因为 13313，所以， a??????nn?1n?1n?1n2?4?12?4222?44?3n?16?3??3?3????a1????a2??????an???8 22??2?2???1所以a1?a2???an???1?n?1??11???3????2??n??8???1?????8?0.因此不等式 4??44??4????a1?a2???an?3n?16成立. 21. |x| (Ⅰ)求证：函数y?f(x)在(0,??)上是增函数. (Ⅱ）若f(x)?2x在(1,??)上恒成立，求实数a的取值范围. （Ⅲ）若函数y?f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m?n)，求实数a的取值范围. 1解：（1）当x?(0,??)时,f(x)?a?.用定义或导数证明单调性均可. x11则a?h(x)在(1,??)上恒成 （2）a??2x在(1,??)上恒成立.设h(x)?2x?xx11. 已知函数f(x)?a?立. 可证h(x)在(1,??)单调增。故a?h(1)即a?3，?a的取值范围为(??,3] （3）?f(x)的定义域为{x|x?0,x?R}?mn?0 当n?m?0时,由(1)知f(x)在(0,??)上单调增 ?m?f(m),n?f(n) ?a?0故x?ax?1?0有两个不相等的正根m，n，?????02?a?2 当m?n?0时，可证f(x)在(??,0)上是减函数. ?m?f(n),n?f(m) 而m?n,故mn?1此时a?0 综上所述，a的取值范围为