3?1??()?0(m?1)(m?)?0??2?2? 则?得?
??(2)?0?(m?1)[m?(1?2)]?0??2?2?3??1?m??2? ????1?m?1?2?2?3 2??1?m?即实数m的取值范围是m?(?1，)
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19. 设a＞0，函数f（x）＝x3-ax在[1，＋∞）上是单调函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x0≥1，f（x）≥1，且f（f（x0））＝x0，求证：f（x0）＝x0． 解：（1）任取x1、x2?[1，＋∞]且x1＜x2，则
332 f(x2)?f(x1)?(x2?ax2)?(x1?ax1)?(x2?x1)(x2?x1x2?x12?a)． 2 ∵ 1?x1?x2，∴ x2?x1x2?x12?3．
显然，不存在一个常数a，使得x2?x1x2?x1?a恒为负数．
∵ f（x）有确定的单调性， ∴ 必存在一个常数a，使x2?x1x2?x1?a恒为正数，即x2?x1x2?x1?a．
∴ a≤3，这时有f（x2）＞f（x1）． ∴ f（x）在[1，＋∞)上是增函数，故a的取值范围是（0，3]．
3??x0?ax0?u， （2）设f（x0）＝u，则f（u）＝x0，于是?3
??u?au?x022222232 则(x0?u3)?a(x0?u)?u?x0， 即 (x0?u)(x0?x0u?u2?1?a)?0． 2 ∵ x0?1，u?1， x0?x0u?u2?3，
2又∵ 0?a?3，∴ x0?x0u?u2?1?a?0． ∴ x0?u?0，即u?x0，故
f(x0)?x0．
20. 已知f(x?1)?x2?6x?8，x?(??，3]．
（1）求f（x）； （2）求f?1(x)；
?1 （3）在f（x）与f(x)的公共定义域上，解不等式f（x）＞f?1(x)＋x2．
（1）设t＝x-1，得x?t?1，t?(??，2]．
将上式代入得f(t)?(t?1)2?6(t?1)?8?t2?4t?3，（t?(??，． 2]） ∴ f(x)?x2?4x?3，（x?2）． （2）令y?x2?4x?3，得x? 由于x?2，∴ x?2?4?16?4(3?y)?2?y?1．
2y?1．(y??1)．
∴ f?1(x)?2?x?1，(x??1)． （3）f（x）与f?1(x)的公共定义域为[-1，2]．原不等式等价于
?x2?4x?3?2?x?1?x2， ???1?x?2?x?1?4x?1，9 ∴ ? ∴ ?1?x?．
16?1?x?2?∴ 不等式的解集为?x|?1?x?9?． 1621. 已知不等式的解集为P。
（1）若P≠?,求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使P∩Z={6,8},若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。
2x?a?1 22x?a?12x?a?1?2x?3?∴? 222x?a?12x?a?1)(2x?3?)?0 ∴(2x?3?22解：(1) ∵|2x?3|?即(4x-6+2x+a+1)(4x-6-2x-a-1)<0
∴(6x+a-5)(2x-a-7)<0 ∴
5?aa?7?x? 62∴
5?aa?7? 62∴a>-4
(2)若P∩Z={6，8},则
5?a?5??6,??6 ?a?7?8??9?2?∴??30?5?a?36,
?16?a?7?18??31?a??25,∴? 无解
9?a?11?∴不存在满足要求的实数a。
k(1?x)?1?0(k≥0，k≠1).
x?2(1?k)x?k?2?0， 解：原不等式即
x?222. 解关于x的不等式
1°若k=0，原不等式的解集为空集；
2°若1－k>0，即0 2?k)(x?2)?0, 1?k2?k2?k－2=>0， 1?k1?k2?k}； 1?k2?k)(x?2)?0, 3°若1－k<0，即k>1时，原不等式等价于(x?1?k2?k2?k此时恒有2>，所以原不等式的解集为{x|x<，或x>2}. 1?k1?k∴若0 23. 设函数f(x)=x+(lga+2)x+lgb，g(x)=2x+2，若f(－1)=0，且对一切实数x，不等式f(x) ≥g(x)恒成立； （Ⅰ）（本问5分）求实数a、b的值； （Ⅱ）（本问7分）设F(x)=f(x)－g(x)，数列{an}满足关系an=F(n)， 证明： 2 11111???????. 2n?4na1na2nann?1解：（I）依题意，f(－1)=0即lgb=lga+1，又f(x)－g(x)≥0恒成立， 22 ∴x+xlga+lgb－2≥0恒成立，∴△=(lga)－4(lgb－2)≤0， 2 消去b得(lga－2)≤0，∴lga=2，且lgb=3，∴a=100，b=1000； 22 （II）由F(x)=(x+1)，∴an=(n+1) ,∴k(k+1) 故 11111111??,即????, (k?1)(k?2)akk(k?1)k?1k?2akkk?1 令k=1、2??、n，并将所得到的n个不等式相加， 可得 111111， ????????1?2n?2a1a2ann?1 ?n1111，不等式两端除以n，命题即证. ???????2n?4a1a2ann?124. 设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m?n)?f(m)?f(n)，且当 x?0时，0?f(x)?1． （Ⅰ）求证：f(0)?1，且当x?0时，有f(x)?1； （Ⅱ）判断f(x)在R上的单调性； （Ⅲ）设集合A?(x,y)|f(x2)?f(y2)?f(1)，集合B??(x,y)|f(ax?y?2)?1,a?R?，若 ??A?B??，求a的取值范围． 解：(1)?f(m?n)?f(m)f(n)，令m?1,n?0，则f(1)?f(1)f(0)，且由x?0时， 0?f(x)?1，所以f(0)?1； 设m?x?0,n??x?0，?f(0)?f(x)f(?x)，?f(x)?1?1． f(?x)（2）x1?x2，则x2?x1?0时，?0?f(x2?x1)?1， ?f(x2)?f(x1)?f?(x2?x1)?x1??f(x1)?f(x2?x1)f(x1)?f(x1) ?f(x1)?f(x2?x1)?1??0，?f(x)在R上单调递减． （3）?f(x)f(y)?f(1),?f(x?y)?f(1)，由f(x)单调性知x?y?1， 又f(ax?y?2)?1?f(0),?ax?y?2?0， 222222?A?B??，? 2a2?1?1，?a2?1?4，从而?3?a?3． 二、不等式的综合应用 1.某广场中心要建一灯柱，广场边缘A点距灯柱根部(B点)100米，已知该点的照明亮度I和灯光射到这点的光线与地面夹角θ的正弦成正比，和这点的光源P的距离r的平方成反比，若要使A点获得最好的照明亮度，灯柱应建多高?(精确到0.1米) 本题考查三角函数、立体几何解决实际问题的能力，同时考查数形结合思想、成比例的概念，利用不等式求最值的方法. 2222222 2.已知xn=sinθ1·sinθ2·sinθ3?sinθ yn=1-(cosθ1+cosθ2+?+cosθn)(n?N) (1)判断x1与y1，x2与y2的大小关系，加以证明. (2)猜想xn与yn的关系，并证明你的结论. (3)若cosθn=(cos ?n+11)，证明xn＞. 24本题考查三角函数的恒等变形，不等式的证明及观察、归纳由特殊到一般的推理能力. 3.某科研所要到某药厂买100桶药剂作试验用，每天用一桶，无论多少桶每趟的运费都是100元，而每桶药在科研所每天的储存保质费用需2元，问应分几趟(每趟购量相等)购买，才能使总的花费最省?(注：运回当天用一桶，不考虑买药剂的费用) 本题主要考查学生对实际问题的理解，建模(利用函数求最小值)和求解能力及等差数列的综合运用. 4.某县地处水乡，县政府计划从今年起用处理过的生活垃圾和工业废渣填河造池，(1)若该县以每年1%的速度减少填河面积，并为保持生态平衡，使填河总面积永远不会超过现有水面面积的 1，问今年所填面积最多只能占现有水面面积的百分之几?(2)水面的减少必4然导致蓄水能力的降低，为了保持其防洪能力不会下降，就要增加排水设备，设经费y(元)与当年所填土地面积x(亩)的平方成正比，比例系数为a，又设每亩水面年平均经济收入为b元，所填的每亩土地年平均收入为c元，那么，要使这三项收入不少于支出，试求所填面积x的最大值.(其中a、b、c为常数). 本题考查由实际问题转化为等比数列的能力，及求函数最值的方法，建立数学模型的能力，阅读理解能力. 2 5.已知f(x)=x+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,且对任何实数都有f(x)≥2x，求a、b的值. 本题考查一元二次不等式恒成立的充要条件和实数的性质，及由“不等”向“相等”转化的能力. 6.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0) (1)写出y与x的函数关系式，并指出这个函数的定义域. (2)求鱼群的年增长量达到的最大值. (3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围. 本题考查二次函数区间上的最值，及不等式的实际应用. 22 7.m为何值时，关于x的方程x-2(m+2)x+m-1=0，(1)有两个正根；(2)有两个大于2的根；(3)一根在(0，1)内，另一根在(1，2)内.本题考查一元二次方程二次函数的图像，应用不等式与它们的关系进行问题转化的能力. 8.若a、b、c、d?R，且a+b=1，c+d=1，求证｜abcd｜≤ 2 2 2 2 1，本题考查不等式的应4用，由相等关系向不等关系的转化. 9.求x5·3yz=7850中的数字x，y，z.