∴f(2)是f(n)(n＞1，n?N)的最小值f(2)=
9 209 20要使f(n)＞m恒成立，只须f(2)＞m恒成立，故m＜
例16 已知等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中，a1=b1,a2=b2,a1≠a2,an＞0,n?N (1)试比较a3,b3及a4,b4的大小.
(2)推测an与bn的大小，并证明你的结论. (结论：bn＞an对任意n?N，n≥3成立)
简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.
例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足(ⅰ)对任意x、y?(-1，1)有f(x)+f(y)=f(
11x?y
) (ⅱ)当x?(-1,0)时，有f(x)＞0，试研究f()+f()+?
5111?xy
+f(
11)与f()的关系.
2n2?3n?1简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数. f(
11)=f()?
n2?3n?1(n?1)(n?2)-111?(?)n?2) =f(n?1111??1?n?1n?211=f()+f(-)
n?1n?211=f()-f()
n?1n?2111∴f()+f()+?+f(2)
511n?3n?1111111=［f()-f()］+［f()-f()］+?+［f()-f()］
2334n?1n?2111=f()-f()＞f()
2n?2211(∵0＜＜1，∴f()＜0)
n?2n?22.不等式问题中的思维策略
1)反客为主
当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口.
2
例18 当｜p｜≤2时，不等式2x-1＞p(x-1)恒成立，求x的取值范围
222
x-1=0 x-1＞0 x-1＜0 简析：若按常规思路，将问题转化为 或 或 2x-1＞0 分别解三个不等式组获解，但太繁琐.
2x-12x-1＞2 ＜-2 x2-1x2-1若“反客为主”将原不等式化为关于P的不等式：
22
(1-x)p+(2x-1)＞0构造函数f(p)=(1-x)p+2x-1 问题转化为对一切｜p｜≤2，f(p)＞0恒成立
2
当1-x=0时易得x=1
f(-2)＞0 当1-x≠0时，当且仅当 解之得 f(2)＞0 综上
2
7?11?3＜x＜且x≠1 227?11?3＜x＜ 222)以退为进
有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径. 例19 在锐角ΔABC中，求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC
简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A、B的关系是否有sinA＞sinB
证明：∵A+B=π-C＞∴
? 2??＞A＞-B＞0 22?∴sinA＞sin(-B)=cosB
2同理 sinB＞cosC
sinC＞cosA
三式相加得sinA+sinB+siC＞cosA+cosB+cosC 五、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 （一）二元一次不等式(组)与平面区域 （1）求约束条件及平面区域的面积
例20.双曲线x2?y2?4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
?x?y?0?x?y?0??A. ?x?y?0 B. ?x?y?0
?0?x?3?0?x?3??
?x?y?0?C. ?x?y?0
?0?x?3?
?x?y?0?D. ?x?y?0
?0?x?3?【解题思路】依据平面区域的画法求解.
[解析]双曲线x2?y2?4的两条渐近线方程为y??x，两者与直线x?3围成一个三角形区
?x?y?0?域时有?x?y?0，故选A。
?0?x?3?C
A
B
?x?y?5?0?例21.不等式组?x?y?0表示的平面区域的面积为________
?x?0?
【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.
[解析]不等式x?y?5?0表示直线x?y?5?0上及右上方的平面区域,x?y?0表示直线
x?y?0 上及右上方的平面区域,x?3表示直线x?3上及左边的平面区域， 所以原不等式表示的平面区域如图8-3-1中的阴影部分?ABC,其中
55111121A(?,),B(3,?3),C(3,8),故所求面积S?ABC??11??
22224（2）求非线性目标函数的最大（小）值
?x?y?2?0?例22 已知?x?y?4?0，求：（1）z?x2?y2?10y?25的最小值;（2）
?2x?y?5?0?范围．
【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解
【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
（1）z?x2?(y?5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是MN?2y?1z?x?1的
1y?(?)2表示可行域内任一点(x,y)到定点Q(?1,?1)连线斜率的两倍； （2）z?2?x?(?1)27337
因为kQA?，kQB?．故z的取值范围为[,]．
4842
（3）线性规划中求目标函数的最值问题
9． 2?x?4y??3?例24. 设z?2x?y，式中变量x,y满足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值.
?x?1? y x?1 C
A x?4y?3?0
l0
3x?5y?25?0 B
x O
【解题思路】按解题步骤求解.
[解析]作出可行域如图8-3-6所示,作直线l0:2x?y?0上,
作一组平行于l0的直线l：2x?y?z，z?R， 可知:直线l往右平移时，t随之增大。
由图象可知,当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大， 当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小， 所以，zmax?2?5?2?12，zmin?2?1?1?3．
（4）线性规划在实际问题中的应用 在线性规划模型下的最优化问题.
例25为迎接2008年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？
40 A30 203x+10y-300=0 10x
o50100
4x+5y-200=0
解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x,y套，月利润为z元，由题意得
y?4x?5y?200,?3x?10y?300,? （x,y?N） ??x?0,??y?0.目标函数为z?700x?1200y
作出可行域如图所示
7z473x???, ，????12120051210?7zzx?∴当y?通过图中的点A时，最大，这时Z最大。 1212001200?4x?5y?200解?， …………10分 ,得点A的坐标为（20,24）
3x?10y?300?将点A(20,24)代入z?700x?1200y得zmax?700?20?1200?24?42800元
目标函数可变形为y??答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元.
六、近年高考试题分析
（2011年湖南文科）３．\x?1\是\x|?1\的 A．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A
解析：因\x?1\?\x|?1\，反之