12. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意的x1,x2都满足f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，当
x?0时，f(x)?0.
（1）判断并证明f(x)的单调性和奇偶性； （2）是否存在这样的实数m，当??[0, f[sin2??(2?m)(sin??cos?)??2]时，使不等式
4]?f(3?2m)?0
sin??cos?对所有?恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
解：（1）令x?y?0,有f(0)?0,令x1?x,x2??x
有f(?x)?f(x)?f(x?x)?f(0)?0, 即f(?x)??f(x),故f(x)为奇函数 在R上任取x1?x2,则x1?x2?0，由题意知f(x1?x2)?0 则f(x1?x2)?f(x1)?f(?x2)?f(x1)?f(x2)?0 故f(x)是增函数
??cos?)? （2）要使f[sin2??(2?m)(sinf[sin2??(2?m)(sin??cos?)?4]?f(3?2m)?0，只须
sin??cos?4]??f(3?2m)?f(?3?2m)
sin??cos?4 又由f(x)为单调增函数有sin2??(2?m)(sin??cos?)???3?2m
sin??cos?2令t?sin??cos?,则sin2??t?1,???[0,?2],?t?2sin(???4)?[1,2]
4?3?2m?0对t?[1,2]恒成立 t2t(2?t)?(2?t)42t?(2?t)m?2t?t2??2,即m??t? t2?tt2令g(t)?t?,g(t)在[1,2]上为减函数，?m?3时，原命题成立.
t原命题等价于t2?1?(m?2)t?13. 已知二次函数f(x)?ax?bx?c,(a,b,c?R)满足：对任意实数x，都有f(x)?x，且当x?（1，3）时，有f(x)?（1）证明：f(2)?2;
（2）若f(?2)?0,f(x)的表达式;
21(x?2)2成立。 8（3）设g(x)?f(x)?实数m的取值范围。
m1
x ,x?[0,??)，若g(x)图上的点都位于直线y?的上方，求 24
解：（1）由条件知 f(2)?4a?2b?c?2恒成立
又∵取x=2时，f(2)?4a?2b?c?∴f(2)?2.
1(2?2)2?2与恒成立, 8（2）∵??4a?2b?c?21 ∴4a?c?2b?1, ∴b?,2?4a?2b?c?0c?1?4a.
又 f(x)?x恒成立，即ax2?(b?1)x?c?0恒成立.
2∴a?0,??(?1)?4a(1?4a)?0，
12111,b?,c?, 8221211∴f(x)?x?x?.
822解出：a?（3）由分析条件知道，只要f(x)图象（在y轴右侧）总在直线 y?可，也就是直线的斜率
m1x?上方即24m小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是： 2?y?????y???1211x?x?822
m1x?242). 2121m11x?(?)x??在x?[0,??)必须恒成立, 82224∴m?(??,1?解法2：g(x)?2即 x?4(1?m)x?2?0在x?[0,??)恒成立.
①△<0，即 [4(1－m)]－8<0，解得：1?2
22 ; ?m?1?22???02?②??2(1?m)?0 解出：m?1?.
2?f(0)?2?0?总之，m?(??,1?14. 设集合A?{x|解：
2). 2x?2?1},B?{x||x?a|?2}，若A?B??，求实数a的取值范围. 2x?1x?2?x?3?1??0 2x?12x?11?(x?3)(2x?1)?0 ??3?x??
2|x?a|?2??2?a?x?2?a
?A?B??,?2?a??3或?2?a??1
2实数a的取值范围是：
15. 对于函数f(x)?ax2?bx?1（a＞0），如果方程f(x)?x有相异两根x1，x2． （1）若x1?1?x2，且f(x)的图象关于直线x＝m对称．求证：m? （2）若0?x1?2且|x1?x2|?2，求b的取值范围；
（3）?、?为区间[x1，x2]上的两个不同的点，求证：2a???(1?b)(???)?2?0． 解：（1）g(x)?f(x)?x?ax2?(b?1)x?1，且a＞0．因为x1?1?x2，所以
1； 2(x1?1)(x2?1)?0，即x1x2?x1?x2?1，于是x?m???b1b?11?(??) 2a2aa11111(x1?x2)?x1x2?(x1?x2)?[(x1?x2)?1]?． （2）由方程g(x)?ax2 222221?(b?1)x?1?0，可知x1x2??0，所以x1、x2同号．由0?x1?2，则x2?x1?2，
a(b?1)24??4，所以x2?2?x1?0，所以g(2)?0，即4a＋2b-1＜0，又(x2?x1)?a2a2所以2a?1?2(b?1)2?1，（因为a＞0）代入①式得：2(b?1)?1?3?2b，解之得
b?11?b1． （3）由条件得x1?x2?，x1x2?，不妨设???，则4aa0?2(??x1)(??x2)?2???2(?x1??x2)?2x1x2?2???2(x1?x2)(???)?2x1x2?(x1?x2)(???)?2???2(x1?x2)(???)?2x1x2?2a???(1?b)(???)?2，故
2a???(1?b)(???)?2?0．
16. 已知函数f(x)=ax+4x+b,(a,b∈R，a<0),设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1和x2,f(x)=x的两实根为α和β。
2
（Ⅰ）若a,b均为负整数，|α-β|=1,求f(x)的解析式； （Ⅱ）（理）若α<1<β<2，求证：x1x2<2。
（文）若α为负整数，f(1)=0,求证：1≤|x1-x2|＜2. 解：（Ⅰ）?f(x)?0的两实根为x1,x2??1?16?4ab?0 （1）
4bx1?x2??,x1?x2?又令g(x)aa?f(x)?x?ax2?3x?t
b a
则g(x)?0的两实根为?,???2?9?4ab?0 （2）?????3,???2|a??|?(???)2?4???9?4ab?1
|a|?9?4ab?a2即a(a?4b)?9?a,b均为负整数，?a为负奇数，从而a??1,b??2
满足（1），（2），故f(x)??x2?4x?2
31?23?即??3 2a2ag(1)?0a?3?b?0① 且 即 ② g(2)?0 4a?b?6?0
（Ⅱ）（理）?a?0且??1???2?? 由①得
b3??1??2即x1?x2?2 aa
（Ⅱ）（文）?f(1)?0?a?4?b?0即b??a?4
又由（Ⅰ）得9?4ab?0?9?4a(?a?4)?0 即 4a2?16a?9?0?a??2?7或a??2?7
22 又?a为负整数?a??4,?5,?5,?? 不妨令x1?1,由x1?x2??4,得x2??1?4
aa ?x1?x2?2?
44，1?|x1?x2|?2 ,??〔－1，0〕
aa17. 如关于x的方程loga?x?3??loga?x?2??1?loga?x?1??a?0,a?1?有解，求实数
a的取值范围。
解：
?x?3?a?x?1??x?2??x?3?x?311a?2??10x?x?2x?3??7210?7x?37?210?0?a?9x2?3x?22)（其中x?1且x?2） 18. 已知函数f(x)?(2x?x?2 （I）求函数f(x)的反函数f （II）设g(x)??1(x)
1?x?3，求函数g(x)最小值及相应的x值； ?1f(x) （III）若不等式(1?x)?f?111(x)?m(m?x)对于区间[，]上的每一个x值都
422成立，求实数m的取值范围。
(x?1)(x?2)2?x?1?解：（I）f(x)?[]???(x?1且x?2)
?(x?1)(x?2)x?1? ?0?x?1x?11?1且? x?1x?132?x2?3x?2?11[0，)?(，1) ?函数f(x)??2的值域为?99?x?x?2??x?1? 由f(x)???，得f?x?1?2?1(x)?1?x
1?x(x)?1?x1?x11x?[0，)?(，1)
99 因此，函数y?f(x)的反函数f?1 （II）g(x)?1?x2?x?3??(1?x)?1?22?1
1?x1?x 当且仅当
2?1?x
1?x
即x?3?22时，g(x)有最小值22?1 （III）由(1? 得1?x)?f?1(x)?m(m?x)
x?m2?mx
设x?t，则?(t)?(1?m)(t?1?m)
根据题意，对区间[，122]中的一切t值，?(t)?0恒成立 2