示为
错误！未找到引用源。Uf(x2,y2) kexp jj f 2f1 d0 2 xzyz 2 1 x yF,2 2 错误！未f f f
找到引用源。 (2-15)
其中，
xy F z,z F(u,v) (x1,y1)exp[ j2 (x1u y1v)]dx1dy1 f f
式中u x2 f,v y2 f为平面P2的空间频率坐标。 (2-16) 由上述公式可知，位于透镜L后面一个焦面上的复振幅分布函数与正比于输入物体的傅里叶变换成,由于变换式前的二次相位因子存在,使物体的频谱产生一个相位弯曲。当物体位于透镜的前焦面时,即当d0 f时，则公式（2-15）变为：
Uf(x2,y2) xy F z,z 错误！未找到引用源。 (2-17) j f f f 1
显然此时二次相位因子完全消失,位于后侧焦平面上的光场分布此时是物体极为准确的傅里叶变换。当利用透镜来实现傅里叶变换运算时,实现光路图如图2-1所示。当然,无论距离d0取何值时,后侧焦平面上的强度分布情况与相位弯曲没有任何关系，它仍然是物体的傅里叶变换功率谱。
2.2 分数傅里叶变换
基于分数傅里叶变化的图像加密开创了图像加密的里程碑，比起传统傅里叶变换，分数傅里叶拓宽了其变化阶次的范围，将变换阶次延伸到了分数领域。 关于对分数傅里叶变换原理以及性质的研究为今后研究工作的开展创造了极大的价值。分数傅里叶有多种形式，但主要包括以下两种：Namias型和Shih型。
2.2.1 Namias型分数傅里叶变换
在经过Namias型分数傅里叶变换之后，一维函数f(x)所对应函数积分形式[9]为：
F{f(x)} f(x)B (x,x )dx (2-18)
其中，