般性的分数傅里叶变换[13]，开创了基于分数傅里叶加密技术的先河，具有
里程碑的意义。
我们将分数傅里叶变换定义[13]为：
F[f(x,y)] P
f(x,y)B(x,y; , ;P)dxB(x,y; , ;P)
(3-5) CPexp{iπ[(x2 y2 α2 β2)cotα 2(xα yβ)csc ]}
式中P为分数傅里叶变换的变换阶次,错误！未找到引用源。Cp为相位常量项, P 2，由于分数傅里叶变换可以利用由几个透镜组合而成的光学系统来实现,因而被广泛应用于光学信息处理研究中。光学实现的简单框图如图3-3所示：
图3-3分数傅里叶变换加密过程
该输入图像函数为错误！未找到引用源。f(x,y),两个随机相位掩膜分别是
，其中n(x,y)和b( , )分别M1 exp[in(x,y)]和M2 exp[ib( , )]错误！未找到引用源。
代表均匀分布在[0,2 ]的独立的白光噪音，这里x,y代表相应的空间域， , 代表相应的频谱域。
图像相位编码在数学上通过以下两个步骤来实现：首先，用相位掩膜M1乘以输入图像函数f(x,y),而后进行级次为P1的分数傅里叶变换后乘以随机相位函数M2得
( , ) FP{f(x,y)exp[in(x,y)]} exp[ib( , )] 1(3-6)
再经级次为P2的分数傅里叶变换得
(x ,y ) FP{ ( , )}2
F{F{f(x,y)exp[in(x,y)]} exp[ib( , )]}
其解密过程的光路图见图3-4： P2P1 (3-7) 当P,P2 1时，基于分数傅里叶变换的双相位编码就变成了传统的双相位编码。 1 1