数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)
利用QR分解，就可以实现正交化方法. 设 ∈ × （m≥n）有线性无关的列， ∈ ，并且假定已知A的QR分解. 现将Q分块为
Q=[ 1 2]
并且令
1 1 Q = b= 22
那么
222 x b 22= Q Q 2= 1 2+ 2 2
由此即知，x是最小二乘问题的解当且仅当x是 = 1的解. 这样一来，最小二乘问题的解可以很容易从上三角方程组 = 1求得.
综合上面的分析，可得求正交化方法的基本步骤为：
（1）计算A的QR分解；
（2）计算 1= 1 ；
（3）求解上三角方程组 = 1；
由此可知，实现正交化方法的关键是如何实现矩阵A的QR分解.
3.3 算法
设 ∈ × ，把 的列向量记作 =( 1 , 2 , , ) , =1,2, , .
第一步，令 1= = 1, 2, , ，利用定理二，取 = 1= 11, 12,, 1 ，
1求出 =± ， 1= + 1， 1= 1 2， 1= 1 1 1T， 1 1=2
1，令 1= σ
于是
1 12 0 (2)
22 2= 1 1= (2) 0 2(2) (2) 2 (2) 1 (2)
假设进行了 1步，得到Householder变换 1, 2, , k 1，使
= k 1 k 2 1 = 11
( ) 12 1 ( ) +1 22( )