数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)
2.2 线性最小二乘拟合
k次代数多项式是1, , , 的线性组合
=
=1
由于 由k+1个系数 0, 1, , 唯一确定，所以又称为k+1阶多项式. 一般地，设 1 , 2 , , ( )是x的函数，并且它们是线性无关组，则其线性组合
= 1 1 + 2 2 + + ( )
=
j=1
称为n阶广义多项式，取广义多项式为拟合函数的最小二乘拟合问题称为线性最小二乘问题.
对于m组观测数据( , ), =1,2,…, ，计算广义多项式P(x)在x= 处所得的值P( )与 之差的平方和为
φ= [ ]2= [ ]2
=1 =1 =1
目的是要求出 （即确定参数 1, 2, , ）使φ达到最小值. 由于φ是 1, 2, , 的函数φ( 1, 2, , ). 因此问题化为求多元函数φ( 1, 2, , )的极小值. 由多元函数极值的必要条件
=0, =1,2, ,
可得n元线代数方程组
11 1+ 12 2+ + 1 = 1 + 22 2+ + 2 = 2 211 1 1+ 2 2+ + =
其中
= ( ) ( ) , =1,2 ,
=1
= ( ) =1,2 ,
=1