数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)
所以
= 1
( + 1)( + 1)
= 1=x + 1 = 1
上述定理的证明是构造性的，即它叙述了计算u与π的过程，一旦 的正负号确定后，就可以求出
1= 1+
= ( =2, , )
以及 = ( + 1)
如果 与 1异号，在计算 1时就会发生抵消，因此，我们取σ=Sign( 1) . 这样我们可以运用Householder变换把系数矩阵化为上梯形矩阵.
定理二显示出，对于任意的 ∈ ( ≠0)都可构造出Householder矩阵H，使Hx的后n-1个分量为零；而且其证明亦告诉我们，可按如下的步骤来构造确定H的单位向量u：
计算 = ± 2 1;
计算 = / 2
首先，一个自然的问题是，实际计算时， 2前的符号如何选取最好. 为了使变换后得到的 为负数，则应取
= 2 1
但是这样选取就会出现一个问题，如果x是一个很接近 1的向量，计算
1= 1 2 1
时，就会出现两个相近的数相减，而导致严重地损失有效数字，这里 1和 1分别表示向量v和x的第一个分量. 不过，幸运的是，只要对上式做一简单的等价变形，就可避免这一问题的出现，事实上，注意到
222 1 2 ( 2+ + )2 1= 1 2== 1212
只要在 1>0时使用上面式子来计算 1，就会避免出现两个相近的数相减的情形.