∴k 1000时，d
2000 2k2
，
k(k 1)2k 1
解得1000 k 1000k 1999， ∴k的最大值为1999，此时公差d
2000 2k19981
k(k 1)1999 19981999
3、【解答】：（1）因为c 0，a1 (c 2)，故a2 f(a1) 2|a1 c 4| |a1 c| 2，
a3 f(a1) 2|a2 c 4| |a2 c| c 10
（2）要证明原命题，只需证明f(x) x c对任意x R都成立，
f(x) x c 2|x c 4| |x c| x c
即只需证明2|x c 4| |x c|+x c
若x c 0，显然有2|x c 4| |x c|+x c=0成立；
若x c 0，则2|x c 4| |x c|+x c x c 4 x c显然成立 综上，f(x) x c恒成立，即对任意的n N，an 1 an c
（3）由（2）知，若{an}为等差数列，则公差d c 0，故n无限增大时，总有an 0 此时，an 1 f(an) 2(an c 4) (an c) an c 8 即d c 8
故a2 f(a1) 2|a1 c 4| |a1 c| a1 c 8， 即2|a1 c 4| |a1 c| a1 c 8，
当a1 c 0时，等式成立，且n 2时，an 0，此时{an}为等差数列，满足题意； 若a1 c 0，则|a1 c 4| 4 a1 c 8，
此时，a2 0,a3 c 8, ,an (n 2)(c 8)也满足题意； 综上，满足题意的a1的取值范围是[ c, ) { c 8}．
4、解：（1） an 不是封闭数列，因为an 2 3n 1，…………………………………… 1分 对任意的m,n N，有an am 4 3m n 2，…………………………………… 2分
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