例1. （2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n 2,且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）
例2．如图所示，在矩形ABCD中，AB 12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A再以A1B1、AC1，1为邻边作第2个平行四边形
A1B1C1C，对角线相交于点O1；
再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平
行
四
边
形
O1B1B2C1 依次类
推．（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形
边长为1，动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为______；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为______（用含自然数n的
A
式子表示）． E 热点五 证明类
ABCD例1．已知：如图在中，
过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、 DC、BC的延长线于点E、M、N、F。
（1）观察图形并找出一对全等三角形：
△________≌△____________，请加以证明； （2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三
角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？
例2．如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG
A 于 E，BF⊥AG于 F． D
（1）求证：△ABF≌△DAE； （2）求证：DE EF FB． F 例3．数学课上，张老师出示了问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E
C B AEF 90 ，是边BC的中点．且EF交正方形外角 DCG
A1B1C1C和第6个平行四边形的面积．
例3.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机
器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在______点。 例4. 在△ABC中，BC=10，B1 、C1分别是图①中AB、AC的中点，在图②中，B1、B分点，在图（3）中B1、B
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、C1、C2分别是AB,AC的三等
、 B9;C1、C2 C9分别是
AB、AC的10等分点，则B1C1 B2C2 B9C9的值是 （ ）
A. 30 B. 45 C.55 D.60
DC例5.如图，正方形ABCD
的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
D D D F F 例4.2009E 年烟台市）C G E C G
（如图，C G 图1 图2
直角梯形ABCD中，AD∥BC，
BCD 90°，且C 2D，tA ，过点aDD作DE∥AB，交 BCD的平分线于点E，连接BE．（1）求证：BC CD；（2）将△BCE绕点C，B