数学物理方程 2008-2009第二学期试题(A)答案
2
v2 v
t a x2,(0 x l,t 0),
vxx 0 0,vx l 0, t 0 , （5分）
v F0 x2 l2 x2 u0.
2
t 02a
利用分离变量法，得到满足边界条件的解为
2n 1 a t 2l
2
v(x,t) Cne
n 1
cos
2n 1 x.
2l
。 （5分）
其中
Cn
2n 1 x2l F0 22x l ucos 0 2 l 0 2l 2a
n 1
2
1
16F0l2a 2n 1
3
3
1
n 1
4u0
.
2n 1 （3分）
因此，原定解问题的解是
F
u x,t u0 02 l2 x2 2a
2 （2分） 2n 1 2 a2n 1 x t 16F0l4u0n 1
1 2 . e 2l cos33
2n 1 2l n 1 a 2n 1
四 在圆形截面波导中，电磁场分量Ez所满足的方程用柱坐标表示为
2Ez1 Ez1 2Ez2
hEz 0, 222
试用分离变量法求其一般解（18分）。
解 令Ez , R ,代入到方程中，有
d2R1dR1d2 2
R hR 0, 222
d d d 两边同乘
2
R ，并移项整理，得