数学物理方程 2008-2009第二学期试题(A)答案
2
R R
h2 2 . RR 由此得到两个常微分方程
0; （1）
2R R h2 2 R 0. （2） （8分）
方程（1）加上自然条件 2 构成本征值问题，解此本征值问题，得本征值和本征函数分别为
2 m 0,1,
m
m2
;smin
m Amcosm B
m
（4分）
0 ,1 ,2
将 m2代入方程（2）,求出其通解是 Rm CmJm h
（2分） DY hm m
由于是圆形截面问题，应该有自然条件R(0) ，这时取Dm 0. （1分） 组合叠加得问题的一般解是
Ez , Rm m
m 0
Amcosm Bmsinm Jm h
m 0
（3分）
五 证明：（1）在利用变换 x sinx y， x sinx y，可以将偏微分方程
2u 2u 2u u 2u2
（10分） 2cosx sinx2 sinx 0化成 0；2
x x y y y
（2）证明这个方程在边界条件u|y sinx (x),uy|y sinx (x)下的解为
u(x,y)
(x sinx y) (x sinx y)1
2
2
x sinx y
x sinx y
( )d 。（10分）
证 （1）